Решении прикладных задач

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Тобольская государственная педагогическая академия

им. Д.И. Менделеева”

Кафедра математики и ТиМОМ

Валицкас А.И.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

“ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ”

Тобольск – 2009

С О Д Е Р Ж А Н И Е

П Р Е Д И С Л О В И Е

ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ: о погрешностях при

решении прикладных задач

Решение любой прикладной задачи проходит, как правило, следующие основные этапы:

· построение математической модели;

· выбор метода (приближённого) решения полученной математической задачи;

· вычисления (как правило, на ЭВМ);

· анализ полученных результатов.

На каждом из первых трёх этапов возможно появление погрешностей, которые называются погрешностями модели, метода, и вычислений. Расчёты на ЭВМ связаны с ещё одним специфическим видом погрешностей – погрешностью разрядной сетки, связанной с ограниченностью разрядности ЭВМ и представлением чисел в ЭВМ. Таким образом, общая погрешность решения задачи является будет суммой указанных этих четырёх погрешностей.

Замечания: 1. Наука изучает не реальный мир, а математические модели, лишь приближённо отражающие реальность. Можно ли после этого говорить о непогрешимой точности научной методологии?

2. Чистая математика не обусловлена потребностью практики: для решения любой прикладной задачи нет нужды искать точное решение, всегда достаточно ограничиться лишь некоторым приближением к нему.

Наиболее существенная из погрешностей – погрешность модели – обсуждаться в дальнейшем не будет, хотя неправильный выбор математической модели реального процесса может свести на нет все усилия по решению задачи. Не будет обсуждаться и погрешность разрядной сетки, т.к. это требует специальных знаний по представлению чисел в ЭВМ. Основное внимание пока уделим погрешности вычислений, а погрешность метода будет анализироваться позднее при изучении конкретных методов приближённого решения математических задач.

Если известно точное значение x₀ некоторой величины и вычислено её приближённое значение x, то можно ввести абсолютную погрешность D(x) = |x – x₀ | и относительную погрешность d(x) = , которая, будучи умноженной на 100, показывает процент отклонения абсолютной погрешности от величины | x|. Как правило, точное значение вычисляемой величины неизвестно. Поэтому при приближённых вычислениях пользуются лишь верхними границами D и d абсолютной и относительной погрешностей или их более или менее грубыми оценками.

Пример: Значение x = 1, 4 даёт приближение величины x₀ = с абсолютной погрешностью D = |1, 4 – 1, 414213562373095048801688… | = = 0, 014213562373095048801688… < 0, 15 и относительной погрешностью d = = 0, 010152544552210749144063… < < 0, 011 (» 1, 1 %).

Этот пример показывает, что даже знание точного результата не позволяет вычислить значения абсолютной и относительной погрешностей без округлений. Запись x = x₀ ± D в дальнейшем будет означать, что выполнены неравенства x₀ – D £ x £ x₀ + D, т.е. абсолютная погрешность величины x по отношению к точному значению x₀ не превосходит D.

Основной вопрос, исследуемый в дальнейшем: как ведут себя погрешности при выполнении арифметических действий?

Лемма (о погрешностях при вычислении функций). (1) Если известно, что x = x₀ ± D(x), y = y₀ ± D(y), то

D(x ± y) £ D(x) + D(y), d(x ± y) £ ,

D(x·y) £ |y|·D(x) + |x|·D(y) + D(x)·D(y), d(x·y) £ d(x) + d(y) + d(x)·d(y),

,

.

(2) Пусть в некотором параллелепипеде П: a_i £ x_i £ b_i (1 £ i £ n) задана непрерывно дифференцируемая функция F( x ) = F(x₁, …, x_n) со значениями в R (т.е. все её частные производные ( x ) непрерывны в каждой точке открытого параллелепипеда П⁰: a_i < x_i < b_i (1 £ i £ n)). Тогда для любых x_i = a⁰_i ± D_i Î (a_i; b_i) (1 £ i £ n) найдётся некоторая точка с Î П со свойством .

(3) Из (2) следует, что |F( x ) – F( a⁰ )| £ , т.е. верна оценка F( x ) = F( a⁰ ) ± , где M_i = , или DF( x ) £ . В частности, F( x ) = F( a⁰ ) ± n·M·D·, где M = , D = , или DF( x ) £ n·M·D.

Доказательство. (1) Все оценки доказываются однообразно с использованием неравенств для модулей:

D(x ± y) = |(x ± y)–(x₀ ± y₀)| = |(x–x₀) ± (y–y₀)| £ |x–x₀| + |y–y₀| = D(x) + D(y),

,

D(x·y) = |x·y – x₀·y₀ | = |(x – x₀)·y + x·(y – y₀ ) + (x₀ – x)·(y – y₀ )| £

£ |x – x₀ |·|y| + |x|·|y – y₀ | + |x₀ – x|·|y – y₀ | = |y|·D(x) + |x|·D(y) + D(x)·D(y),

d(x·y) = = d(x) + d(y) + d(x)·d(y),

(2) По функции F(x₁, …, x_n) построим вспомогательную действительную функцию

G(t) = (F( x ) – F( a⁰ ))·t – F(a⁰₁ + t·(x₁ – a⁰₁), …, a⁰_n + t·(x_n – a⁰_n)),

определённую для t Î [0; 1]. Тогда G(0) = –F( a⁰ ) = G(1), и значит, найдётся такое t₀ Î [0; 1], что G¢ (t₀) = 0, т.е.

0 = G¢ (t₀) = F(x) – F(a⁰) – ,

где c_i = a⁰_i + t₀·(x_i – a⁰_i) (1 £ i £ n).

(3) Дальнейшие оценки очевидны: DF( x ) = |F( x ) – F( a⁰ ) | =

= £ n·M·D.

Теорема доказана.

Замечания: 1. Относительная погрешность суммы или разности может весьма значительно отличаться от относительных погрешностей слагаемых. Например, если x = 0, 8 и y = 0, 9 – два приближения для x₀ = 1 = y₀, то d(x) = = 0, 25, d(y) = = 0, (1), но для приближения x – y = –0, 1 величины x₀ – y₀ = 0 будет выполнено равенство d(x – y) = = 1.

2. Абсолютная погрешность частного может весьма значительно отличаться от абсолютных погрешностей делимого и делителя. Например, если x = 0, 11 и y = 0, 09 – приближения величин x₀ = 0, 1 = y₀, то D(x) = 0, 01 = D(y), но = 1, (2) и D = 0, (2). Величина абсолютной погрешности увеличилась в 20 раз!

3. Если величины D(x), D(y), d(x), d(y) малы как по величине, так и по сравнению с |x|, |y|, то в полученных в лемме оценках для произведения и частного можно пренебречь членами второго порядка малости, т.е. можно считать:

D(x·y) £ |y|·D(x) + |x|·D(y), d(x·y) £ d(x) + d(y),

, .

Конечно, эти неравенства не являются точными: они могут нарушаться, но лишь на величины второго порядка малости.

Полученные в лемме оценки позволяют определять количество верных цифр результата приближённых вычислений. Цифра результата называется верной, если абсолютная погрешность результата не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра: цифра c_k десятичного числа x = c_m … c₀, c_–1 … c_–s … верна, если D = D(x) £ 0, 5× 10^–k.

Примеры: 1. При округлении числа x₀ = 1, 987654 до x = 1, 99 получается абсолютная погрешность D(x) = |x – x₀| = 0, 002346, так что обе цифры верны: D(x) = 0, 002346 < 0, 5·0, 01 = 0, 005.

При округлении того же числа x₀ = 1, 987654 до x = 1, 98766 абсолютная погрешность будет D(x) = |x – x₀| = 0, 000006, ипоследняя цифра уже не верна, поскольку D(x) = 0, 000006 > 0, 5·0, 00001 = 0, 000005.

2. Пусть даны два числа x = 1, 154 и y = 2, 010, заданные верными цифрами. На калькуляторе вычислили их частное = 0, 5741. Сколько в нём правильных цифр?

Подсчитаем абсолютную погрешность частного, учитывая, что D(x) = = D(y) = 0, 0005 (из неравенств D(x) £ 0, 5·0, 001, D(y) £ 0, 5·0, 001):

.

Таким образом, если считать , то в результате 0, 5741 верны три цифры после запятой: 0, 000392 £ 0, 5·0, 001 = 0, 0005, четвёртая же цифра может оказаться неверной.

Можно действовать по-другому: из 2, 010 – D(y) £ y £ 2, 010 + D(y) получаем

.

Как видим, и при таком подходе границы результата отличаются в десятитысячных, а первые три цифры после запятой неизменны.

Значит, в результате = 0, 5741 верны три цифры после запятой.

3. Пусть даны два числа x = 1, 154 и y = 0, 010, заданные верными цифрами. На калькуляторе вычислили их частное = 115, 4000. Сколько в нём правильных цифр?

Аналогично предыдущему вычислим абсолютную погрешность частного, учитывая, что D(x) = D(y) = 0, 0005:

.

Таким образом, если считать , то в результате 115, 4000 можно доверять лишь первой цифре: сотням.

Можно действовать по-другому: из 0, 010 – D(y) £ y £ 0, 010 + D(y) получаем

.

Как видим, и при таком подходе границы результата отличаются уже в цифре десятков.

Таким образом, в результате = 115, 4000 верна только цифра сотен.

4. С какой точностью нужно округлить x₀ = 0, 587964 до величины x, чтобы значение sin x совпало в трёх цифрах после запятой со значением sin x₀?

Ясно, что должно выполняться неравенство |sin x – sin x₀ | < 0, 0005, т.е. D sin x < 0, 0005. По теореме о погрешности для F(x) = sin x имеем . Значит, для выполнения неравенства DF(x) < 0, 0005 нужно взять D x < . На интервале [0, 5; 0, 6] максимум знаменателя достигается при x = 0, 5 (т.к. cos x убывает на этом интервале). Значит,

D x < , 0, 587854 < x < 0, 588074.

Нетрудно убедиться, что в указанном промежутке действительно три цифры после запятой числа sin x совпадают с цифрами числа sin x₀:

sin 0, 587854» 0, 554577, sin 0, 588074» 0, 554760,

sin 0, 587964» 0, 554668.