![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Погрешность метода Симпсона пропорциональна 0( )-и имеет порядок .
Метод 24 Метод Гаусса В предыдущих методах при численном интегрировании подинтегральную функцию вычисляют в равноотстоящих друг от друга узлах. В методе Гаусса для повышения точности численного интегрирования значения подинтегральной функции вычисляют в специально подобранных узлах. Рассмотрим сначала стандартный отрезок и получим для определённого интеграла приближенное выражение
Узлы Она будет максимальной в том случае, если узлы Метод Гаусса представляет собой группу методов различающихся числом узлов. Значения параметров
С помощью формулы Гаусса (1.1) с m-узлами на стандартном отрезке Для этого разбиваем отрезок Задаём m узлов с помощью формулы i – это номер частичного отрезка; j – это номер узла в каждом частичном отрезке. Для Метод 24 даёт точные значения интеграла для полиномов степени Метод 26 Метод Монте-Карло Во многих задачах исходные данные носят случайный характер. Для решения таких задач применяется статистико-вероятностный подход. На основе такого подхода разработан метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло. В методе Монте-Карло для случайной величины X с определённым законом распределения находится математическое ожидание,
В компьютерах встроены генераторы случайных чисел, имеющие нормальное распределение. Для вычисления где, Тогда При вычислении интеграла на
Метод 27 Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов Особенно эффективно применение метода Монте-Карло для вычисления кратных интегралов. Например, двойной интеграл по области в виде единичного квадрата может быть представлен в виде где При интегрировании по прямоугольнику R, не совпадающему с единичным квадратом, необходимо сначала произвести преобразование переменных.
Обобщим метод Монте-Карло на область произвольной конфигурации. Пусть требуется вычислить двойной интеграл по области
Построим прямоугольник R охватывающий область
Очевидно, что искомый интеграл
Точность зависит от качества генератора, не совсем точная (равномерная плотность распределения).
Тема №7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
К решению дифференциальных уравнений приводит большое число научно-исследовательских задач и задач инженерной практики, но лишь не многие из них удается решить аналитически, поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют такую важную роль в инженерной практике. Дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для решения дифференциального уравнения необходимо задание дополнительных условий, если дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такие условия называются начальными, а задача решения уравнения называется задачей с начальными условиями или задача Коши. Если условия задаются при двух или более значениях переменной, то такие условия называются граничными, а задачу называют краевой. В задаче Коши роль независимой переменной играет величина Для решения задачи Коши и краевой принимают различные численные методы. Часто краевую задачу решают путем сведения её к задаче Коши. Отсюда следует, что обычно задачи Коши являются более легкими для численного решения. При численном решении вводится шаг по координате, и решение находится в точках отстоящих друг от друга на величину шага. Для решения задачи Коши разработано множество методов, которые можно разделить на 2 группы: 1 группа – одношаговые методы. В них для нахождения решения в следующей точке (удаленной на расстояние h) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. 2 группа – многошаговые методы. Методы прогноза и коррекции. В них для нахождения значения в следующей точке требуется информация из нескольких предыдущих точек. При численном решении дифференциальных уравнений можно выделить 3 типа погрешности: 1) погрешность округления; 2) погрешность усечения, связана с аппроксимацией бесконечных рядов несколькими первыми членами, обусловлена численным методом; 3) погрешность распространения, она является результатом накопления погрешностей появившихся на предыдущих этапах счета.
Метод 28 Метод Эйлера Простейшим методом решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка является метод Эйлера. Требуется найти Будем находить решение в точках В этом ряде ограничимся первыми двумя слагаемыми
В результате получаем простейшую формулу
точность
Таким образом, погрешность метода Эйлера равна Метод 29 Модифицированный метод Эйлера Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение, которое используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала Мы нашли, что в начале интервала значение производной равно
Для нахождения на интервале удобно использовать среднее значение. Такое представление производной тождественно использованию в ряде Тейлора членов пропорциональных
Метод 30 Метод Рунге – Кутта Это метод, который позволяет учесть в ряде Тейлора члены, содержащие старшие производные. Для этого при вычислении старших производных используется результаты расчетов в точках внутри интервала. Метод Рунге – Кутта объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Отличаются эти методы порядком точности, т.е. числом слагаемых в ряде Тейлора. Наиболее распространенным является метод, при котором удерживаются члены пропорциональные Расчеты в этом методе производятся по следующим формулам
Метод 31 Метод Рунге-Кутта для решения систем ОДУ Метод Рунге – Кутта может применяться для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Например: при решении системы
В этом случае расчеты производятся по следующим формулам:
Метод 32 Метод Рунге-Кутта для ОДУ высших порядков Метод Рунге – Кутта можно использовать для решения дифференциальных уравнений высокого порядка (второго или более высокого). Для этого дифференциальное уравнение сводится к системе уравнений первого порядка. Например: дифференциальное уравнение второго порядка:
Введём переменную
Метод 33 Метод стрельбы Методы решения задачи Коши могут быть использованы при решении краевых задач. В качестве примера рассмотрим один из методов решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка, который называется методом стрельбы. Решается дифференциальное уравнение второго порядка:
Заменим эту краевую задачу задачей Коши Задача сводится к тому, чтобы найти такой угол Эта задача зависит от угла И нужно чтобы Решение этого уравнения есть Метод 34 Метод конечных разностей (МКР) (метод сеток). Одним из универсальных методов решения краевых задач является метод конечных разностей. Рассмотрим применение МКР для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка. Пусть требуется найти дифференциальное уравнение:
Разбиваем отрезок Рассмотрим узловую точку
Аппроксимируем решаемое дифференциальное уравнение для узловой точки
Подставим найденные значения
Аналогичное соотношение можно записать для каждого внутреннего узла. В результате получается система линейных алгебраических уравнений; число этих уравнений равно числу неизвестных значений Замечание: полученная система СЛАУ имеет трехдиагональную матрицу, поэтому решать полученную систему удобно с помощью метода прогонки. Тема №8 Решение дифференциальных уравнений с частными производными Во многих практических важных задачах искомая функция зависит от нескольких переменных. Например, от трех координат и времени. Дифференциальные уравнения, описывающие такие задачи, могут содержать частные производные от искомой функции, такие уравнения называют дифференциальными уравнениями с частными производными. Наиболее практическое значение имеют дифференциальные уравнения с частными производными первого и особенно второго порядка. Такие уравнения называют уравнениями математической физики. Различают уравнения математической физики трех типов: 1) параболический 2) гиперболический 3) эллиптический. Тип уравнения зависит от соотношений между коэффициентами перед старшими производными. Способ решения уравнения математической физики существенным образом зависит от типа уравнения. Существует множество аналитических методов решения уравнения математической физики. Однако круг задач, решаемых аналитически, весьма ограничен и поэтому для решения уравнения математической физики применяют численные методы. Таких методов тоже очень много. Мы рассмотрим один из них. Этот метод относится к универсальным методам решения. Этот метод наиболее изучен и разработан. Широко используется также метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ) и другие методы. Рассмотрим решение уравнения параболического типа с помощью метода сеток. Типичным примером одномерного уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности:
|