![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Волновое уравнение.
Одним из наиболее распространенных в инженерной практике уравнений с частными производными второго порядка является волновое уравнение, описывающее различные виды колебаний. Поскольку колебания — процесс нестационарный, то одной из независимых переменных является время t. Кроме того, независимыми переменными в уравнении являются также пространственные координаты х, у, z. В зависимости от их количества различают одномерное, двумерное и трехмерное волновые уравнения. Одномерное волновое уравнение описывает продольные колебания стержня, сечения которого совершают плоскопараллельные колебательные движения, а также поперечные колебания тонкого стержня и другие задачи. Двумерное волновое уравнение используется для исследования колебаний тонкой пластины. Трехмерное волновое уравнение описывает распространение волн в пространстве. Рассмотрим одномерное волновое уравнение, которое можно записать в виде
Для поперечных колебаний струны искомая функция U(x, t) описывает положение струны в момент t. В этом случае
Решим задачу Коши для этого уравнения. Вот условия задачи:
Эти условия описывают начальную форму струны На практике чаще приходится решать не задачу Коши для бесконечной струны, а смешанную задачу для ограниченной струны некоторой длины
Для решения такой задачи используем явную трехслойную схему типа крест. Заменим в начальном уравнении вторые производные искомой функции U по t и х их конечно-разностными соотношениями с помощью значений сеточной функции Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на (j + 1)-м слое: Здесь, как обычно в трехслойных схемах, для определения неизвестных значений на (j + 1)-м слое нужно знать решения на j-м и (j — 1)-м слоях. Поэтому начать счет можно лишь для второго слоя, а решения на нулевом и первом слоях должны быть известны. Они находятся с помощью начальных условий. На нулевом слое имеем Для получения решения на первом слое воспользуемся вторым начальным условием. Производную Из этого соотношения можно найти значения сеточной функции на первом временном слое: Отметим, что аппроксимация начального условия в таком виде ухудшает аппроксимацию исходной дифференциальной задачи: погрешность аппроксимации становится порядка Так как, то:
|