Теореми Муавра-Лапласа.

Локальна: Якщо у схемі Бернулі величина , коли , то

,

де — щільність стандартного нормального розподілу.

Локальна теорема Муавра-Лапласа стверджує, що при достатньо великих п, імовірності для біномного розподілу мало відрізняються від значень щільності нормального розподілу з математичним сподіванням і дисперсією , тобто .

Формула дає достатньо точне наближення для пр > 10, nq > 10.

Інтегральна: В припущеннях локальної теореми Муавра-Лапласа справджується рівність

де — імовірність набуття випадковою величиною значень від k ₁ до k ₂, — функція Лапласа.

3. Неперервні та дискретні

випадкові величини.

Випадкові величини поділяють на неперервні і дискретні. Розглянута в попередньому прикладі величина є дискретною випадковою величиною. Дискретна випадкова величина може набувати лише певних окремих значень із заданими ймовірностями. Дискретними випадковими величинами є, наприклад, кількість хлопчиків на 1000 новонароджених, кількість абонентських з’єднань на АТС протягом доби, кількість завдань тесту виконаних досліджуваним за певний проміжок часу. Неперервна випадкова величина може набувати будь-яких значень з певного інтервалу числової прямої чи об’єднання інтервалів із заданими ймовірностями. Прикладом неперервної випадкової величини може служити тривалість очікування автобуса на зупинці, час з моменту подразнення до появи реакції досліджуваного на подразник, кутова величина поля зору людини і т.п. Очевидно, що неперервна випадкова величина може набувати незлічену кількість значень, і тому ми можемо говорити лише про імовірність потрапляння цих значень в деякий інтервал, а не про ймовірність набуття неперервною випадковою величиною конкретного значення (вона завжди дорівнює нулеві).

3. Функція розподілу.

Функцією розподілу випадкової величини Х будемо називати функцію, яка кожному значенню аргументу х ставить у відповідність імовірність того, що випадкова величина набуває значення меншого, ніж х.

.

Яких би значень не набувала випадкова величина, її функція розподілу визначається на всій дійсній осі. Функція розподілу випадкової величини є імовірністю і тому вона має такі властивості.

1. Значення функції розподілу змінюються в межах .

2. Функція розподілу монотонно неспадна, тобто . Дійсно .

3. Імовірність попадання значень випадкової величини в інтервал обчислюється за формулою

4. Оскільки подія є неможливою, а подія — достеменною, то , а .

5. Функція розподілу F є неперервною зліва в кожній точці своєї області визначення, тобто .

3. Числові характеристики розподілу та

їхні властивості.

Математичне сподівання випадкової величини

Математичним сподіванням дискретно розподіленої випадкової величини будемо називати суму добутків значень випадкової величини на їх імовірності.

Математичним сподіванням скалярної неперервно розподіленої випадкової величини будемо називати інтеграл по всій дійсній осі від добутку випадкової величини на її щільність розподілу.

.

Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання.

Отже, для обчислення дисперсії дискретно розподіленої випадкової величини маємо формулу

,

а для обчислення дисперсії неперервно розподіленої випадкової величини, щільність розподілу якої дорівнює , — формулу

.

Величина називається середнім квадратичним (або стандартним) відхиленням випадкової величини Х.

Числа

та

називаються відповідно асиметрією та ексцесом випадкової величини Х.

Квантилем порядку р розподілу випадкової величини будемо називати точку дійсної осі, в якій функція розподілу цієї випадкової величини переходить від менших, ніж р, значень до більших, ніж р. Тобто, , а . Квантилі розподілу будь-якого порядку існують для кожної випадкової величини, однак можуть визначатись неоднозначно. Найчастіше розглядають медіану, квартилі, децилі та процентилі розподілу.

Медіаною розподілу випадкової величини називають квантиль .

Квантилі , — називають квартилями, а квантилі та — відповідно децилями та процентилями розподілу. На рис.5 зображено медіану та квартилі випадкової величини, заданої своєю функцією розподілу.

3. Розподіл Бернуллі

Випадкова величина Х має розподіл Бернулі з параметром , якщо

Її математичне сподівання і дисперсія відповідно дорівнюють:

Розподіл Бернуллі відіграє фундаментальну роль в теорії ймовірностей, оскільки він є моделлю будь-якого випадкового експерименту, виходами якого є дві протилежні події.

Біномний розподіл

Нехай проводиться п випробувань з можливими виходами А або в кожному випробуванні, причому подія А має сталу ймовірність р появи в одній спробі (схема Бернуллі). Позначимо . Тоді ймовірність появи події А k раз в п спробах дорівнює:

.

Розподіл випадкової величини Х, яка дорівнює кількості появи події А в п випробуваннях називається біномним розподілом. Випадкову величину Х можна розглядати як суму , де — випадкова величина з розподілом Бернулі, яка характеризує появу події А в і– ому випробуванні. Тому математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення розподіленої за біномним розподілом випадкової величини дорівнюють:

Розподіл Пуассона

Випадкова величина Х має розподіл Пуассона з параметром , якщо

.

Математичне сподівання, дисперсія та середньоквадратичне відхилення випадкової величини з розподілом Пуассона дорівнюють:

Розподіл Пуассона відповідає схемі Бернуллі з великим п і достатньо малим р, причому , тому цей закон розподілу називають розподілом імовірностей масових рідкісних подій.

Рівномірний розподіл

Випадкова величина називається рівномірно розподіленою на відрізку [ a; b ], якщо щільність її розподілу

Функція розподілу такої випадкової величини описується рівністю

Її математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення відповідно дорівнюють

Експонентний розподіл

Випадкова величина має експонентний розподіл, якщо її щільність розподілу

ЇЇ функція розподілу задається рівністю

Математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення випадкової величини розподіленої за експонентним законом дорівнюють:

Нормальний розподіл

Важливу роль у теорії ймовірностей відіграє нормальний закон розподілу. Назва “нормальний” пояснюється тим, що через поширеність цього закону при описі більшості природніх явищ, він сприймався як норма (стандарт) розподілу будь-якої випадкової величини. Цьому закону підпорядковані більшість числових характеристик властивостей особистості і людських здібностей.

Випадкова величина має номальний розподіл (або розподіл Гауса), якщо щільність її розподілу задається рівністю

.

Функція нормального розподілу має вигляд

.

Числові характеристики нормально розподіленої випадкової величини дорівнюють

Правило «трьох сигм»

Зокрема, послідовно вибираючи , , , отримуємо:

Останнє співідношення виражає правило “трьох сігм”, яке полягає в тому, що практично всі значення нормально розподіленої випадкової величини відхиляються від свого математичного сподівання не більше, ніж на .

Розподіл χ ²

Нехай — незалежні випадкові величини, що мають стандартний нормальний розподіл. Тоді величина має розподіл χ ² з п степенями вільності, який задається щільністю При прямуванні кількості степенів свободи до нескінченості розподіл наближається до нормального (рис.8).

Розподіл Стьюдента

Якщо Z — випадкова величина із стандартним нормальним розподілом, а V — незалежна від Z величина, що має розподіл з k степенями вільності, то величина

має розподіл Стьюдента з k степенями вільності.

З ростом k розподіл Стьюдента швидко наближається до нормального (рис.9).

Розподіл Фішера-Снедекора

Якщо U i V — незалежні випадкові величини, що мають розподіл з k ₁ і k ₂ степенями вільності відповідно, то величина

має розподіл Фішера-Снедекора з k ₁, k ₂ степенями вільності (рис. 10).

Двовимірна випадкова величина

Якщо на одному імовірнісному просторі задано дві випадкові величини (або п випадкових величин), то їх упорядковану пару (Х ₁, Х ₂) (впорядковану сукупність (Х ₁, Х ₂,..., Х_п)) називають двовимірною (п – вимірною) випадковою величиною або двовимірним (п – вимірним) випадковим вектором. Надалі в основному розглядатимемо саме двовимірний випадковий вектор.

Якщо випадкові величини Х ₁, Х ₂ — неперервні, то вектор (Х ₁, Х ₂) називають неперервним випадковим вектором. Коли ж Х ₁, Х ₂ — дискретні випадкові величини, то й вектор (Х ₁, Х ₂) називають дискретним.

Функція розподілу двовимірної випадкової величини

Функція називається функцією розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини.

Функція розподілу ймовірностей двовимірного випадкового вектора має такі властивості.

1. Значення функції розподілу змінюються в межах .

2. Функція розподілу монотонно неспадна за кожним аргументом, тобто:

,

.

3. Імовірність попадання значень випадкової величини в прямокутник обчислюється за формулою

.

4. Справджуються рівності:

.

5. Границею функції розподілу ймовірностей, коли одна із змінних прямує до , є функція розподілу другої змінної:

6. За кожним своїм аргументом функція розподілу F є неперервною зліва в будь-якій точці своєї області визначення, тобто

Якщо випадковий вектор є неперервним, то функція неперервна на всій області визначення.

Функцію

,

(якщо вона існує) називають щільністю розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини.

Умовні закони розподілу

Умовним розподілом випадкової величини X, коли (Y, коли ) на­зи­вають розподіл ймовірностей її значень при відповідному значенні іншої змінної.

Умовний закон розподілу неперервної випадкової величини Х, коли визначається щільністю

,

де — двовимірна щільність розподілу вектора , а — щільність розподілу випадкової величини Y. Аналогічно, умовний закон розподілу неперервної випадкової величини Y, коли визначається щільністю

,

де — щільність розподілу випадкової величини X.

Якщо умовний закон розподілу однієї з величин випадкового вектора однаковий при всіх значеннях іншої величини, то ці випадкові величини стохастично незалежні. У цьому випадку функції їх розподілів задовольняють співвідношення:

Коваріація і коефіцієнт кореляції

Коваріацією (або кореляційним моментом) двовимірної випадкової величини називають математичне сподівання добутку відхилень кожної з компонент від свого математичного сподівання

.

Зокрема для дискретного випадкового вектора

або

,

а для неперервного

або

Оскільки математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань, то коваріація вектора з незалежними компонентами дорівнює нулю. Отже, якщо коваріація випадкового вектора відмінна від нуля, то його компоненти є стохастично залежними випадковими величинами (обернене твердження не справджується).

Коваріацію можна розглядати як міру залежності випадкових величин, які є компонентами вектора, однак вона враховує не тільки рівень залежності величин, а й їх розсіювання навколо точки на площині. Тому залежність між компонентами двовимірного випадкового вектора характеризують безрозмірною величиною

,

яку називають коефіцієнтом лінійної кореляції.

Очевидно, що коефіцієнт лінійної кореляції незалежних випадкових величин дорівнює нулю.

Дві випадкові величини називають некорельованими, якщо їх коефіцієнт лінійної кореляції дорівнює нулю і корельованими у протилежному випадку. Незалежні випадкові величини завжди некорельовані. Обернене твердження не справджується. Однак для нормально розподілених випадкових величин некорельованість рівнозначна стохастичній незалежності.

Коваріаційна матриця і матриця парних кореляцій

Коваріаційною матрицею п -вимірного випадкового вектора називатимемо квадратну матрицю розмір­нос­ті п, елементами якої є парні коваріації компонент випадкового вектора Х. Коваріаційна матриця є симетричною (оскільки ), а еле­мен­та­ми головної діагоналі є дисперсії відповідних компонент випадкового вектора. Дійсно Оскільки коваріація двох незалежних компонент вектора дорівнює нулю, то коваріаційна матриця відображає структуру залежності компонент випадкового вектора Х. Зокрема, якщо всі компоненти випадкового вектора стохастично незалежні, то коваріаційна матриця діагональна.

Матрицю , складену з коефіцієнтів лінійної кореляції компонент та випадкового вектора Х, називають матрицею парних кореляцій або кореляційною матрицею. Як і коваріаційна матриця, вона є симетричною. Діагональні елементи кореляційної матриці дорівнюють 1. Кореляційна матриця випадкового вектора з незалежними компонентами є одиничною.

Коваріаційна матриця пов’язана з матрицею парних кореляцій співвідношенням

,

де — діагональна матриця, елементами головної діагоналі якої є середні ква­дра­тичні відхилення відповідних компонент випадкового вектора. Зокрема, якщо компоненти вектора мають одиничні дисперсії, то і збігаються.

Нерівність Чебишева

Якщо випадкова величина має математичне сподівання М і середнє квадратичне відхилення σ, тоді для довільного має місце нерівність

Нерівність (ІІ.31) називають нерівністю Чебишева. Вона дозволяє оцінити імовірність великого відхилення значення випадкової величини від свого математичного сподівання. Разом з нею розглядають нерівність

,

яка дозволяє оцінити ймовірність протилежної події.