Теорема Чебишева

Нехай випадкові величини — попарно незалежні і мають однакові математичні сподівання М і однакові обмежені дисперсії . Тоді для усередненої випадкової величини і для як завгодно малого справджується рівність

.

Дійсно випадкова величина має математичне сподівання М і дисперсію . Застосувавши до нерівність (ІІ.32) отримуємо

.

Переходячи в останній нерівності до границі при , дістаємо (ІІ.33).

Зауважимо, що теорема Чебишева може бути поширена на випадкові величини з довільними математичними сподіваннями і довільними обмеженими в сукупності дисперсіями.

Суть теореми Чебишева полягає в тому, що хоча окремі випадкові величини можуть набувати далеких від свого математичного сподівання значень, однак для достатньо великого їх числа усереднена випадкова величина практично не відхиляється від свого математичного сподівання.

Теорема Чебишева має важливе практичне значення. При вимірюванні деякої величини результати вимірювань можна розглядати як випадкові величини . Всі вони попарно незалежні, мають однакове математичне сподівання і обмежені дисперсії, і якщо їх досить багато, то на підставі теореми Чебишева можна стверджувати, що середнє арифметичне цих вимірювань практично не відрізняється від істинного значення вимірюваної величини.

З іншого боку на теоремі Чебишева ґрунтується вибірковий метод досліджень. Для визначення характеристик великої сукупності досліджуваних об'єктів нема потреби досліджувати кожен з них. Достатньо вивчити порівняно невелику випадкову вибірку з цієї сукупності.

Закон Бернуллі

Розглянемо величини , кожна з яких має розподіл Бернулі з параметром р. Кожну величину можемо трактувати як появу () або непояву () деякої події А в і -му випробуванні, тоді величина буде відносною частотою появи події А в серії з п випробувань. Оскільки , то і Застосовуючи теорему Чебишева, отримуємо

.

Нерівність (ІІ.35) виражає закон Бернуллі або закон великих чисел, який стверджує, що імовірність того, що відносна частота появи події в серії з достатньо великою кількістю випробувань як завгодно мало відрізняється від імовірності появи цієї події, є близькою до одиниці.

Закон Бернуллі дає підстави для статистичного означення імовірності:

Імовірністю події називається границя відносної частоти появи події в серії випробувань, коли кількість випробувань прямує до нескінченості.