Массового обслуживания с отказами методом Монте— Карло

ДОПОЛНЕНИЕ

А. Пример расчета многоканальной системы

массового обслуживания с отказами методом Монте— Карло

Пусть в систему массового обслуживания с отказами (заявка покидает такую систему, если все каналы заняты), состоящую из N каналов, поступает простейший поток заявок (см. гл. VI, § 6), причем плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными заявками задана:

f(τ) = λ е^{-λ τ} (λ > 0, 0 < τ < ∞).

Каждая заявка поступает в первый канал. Если первый канал свободен, то он обслуживает заявку; если первый канал занят, то заявка поступает во второй канал, обслуживается им (если канал свободен) или передается в третий канал (если первый и второй каналы заняты) и т. д.

В случае, если в момент поступления заявки все каналы заняты, наступает отказ, т. е. поступившая заявка не обслуживается и из дальнейшего рассмотрения исключается.

Ведется подсчет числа обслуженных заявок и числа отказов. Если заявка обслужена, то в «счетчик обслуженных заявок» добавляют единицу; при отказе единицу добавляют в «счетчик отказов».

Ставится задача: найти математические ожидания числа обслуженных заявок и числа отказов за заданное время Т. Для решения этой задачи производят п испытаний, каждое длительностью Т, и определяют в каждом испытании число обслуженных заявок и число отказов.

Введем обозначения:

t_обсл —длительность обслуживания заявки каналом;

t_i, —момент освобождения (i -го канала;

Т_k —момент поступления k-й заявки;

τ _k —длительность времени между поступлениями k- йи (k+1)-й заявок; T_{k+ 1} =T_k+τ _k —момент поступления (k+1)-й заявки, п— число испытаний.

Пусть первая заявка поступила в момент T ₁ = 0, когда все каналы свободны. Эта заявка поступит в первый канал и будет им обслужена за время t_обсл. В счетчик обслуженных заявок надо записать единицу.

Разыграем момент T ₂, поступления второй заявки, для чего выберем случайное число r ₁ и разыграем τ ₁ (учитывая, что τ распределено по показательному закону) по формуле (см. гл. XXI, § 7, пример 2)

τ ₁ = - (1 /λ) lnr1.

Следовательно, вторая заявка поступит в момент времени

T ₂ =T ₁+ τ _i =0+ τ _i = τ _i.

Если окажется, что t ₁≤ T ₂ (вторая заявка поступила после того, как первый канал освободился), то вторая заявка будет обслужена первым каналом и в счетчик обслуженных заявок надо добавить единицу.

Если же окажется, что t ₁> T ₂, то первый канал занят, и заявка поступит во второй канал и будет им обслужена, поскольку расчет начат в предположении, что все каналы свободны; в счетчик обслуженных заявок надо добавить единицу.

Дальнейший расчет производится аналогично. Если в некоторый момент времени поступления очередной заявки все каналы заняты, то наступает отказ и в счетчик

отказов надо добавить единицу.

Испытание заканчивается, если очередная заявка поступит в момент времени, превышающий момент окончания испытания, т. е. если Т_{k+ 1}> Т.

В итоге i -го испытания в счетчиках окажутся соответственно число обслуженных заявок m_{i обсл} и число отказов m_iотк.

Пусть произведено всего п испытаний, каждое длительностью Т, причем i- м испытании зарегистрировано m_{i обсл} обслуженных заявок и m_iотк отказов. В качестве оценок искомых математических ожиданий принимают выборочные средние:

Для вычисления наименьшего числа испытаний, которыес надежностью γ обеспечат наперед заданнуюверхнююграницу ошибки δ, можно использовать формулу (см. гл. XVI. § 15, замечание 2)

где t находят по равенству Ф(t)=γ /2, σ =1/λ (см. гл. XIII. § 3).

Пусть, например, известны среднее квадратнческое отклонение σ =4 и γ =0, 95, δ =0, 7. Тогда Ф(t)=0, 95/2=0, 475 и t =1, 96.

Минимальное число испытаний

Предполагалось, что время обслуживания—неслучайная величина; если время обслуживания случайно, то расчет производится аналогично. Разумеется для разыгрывания случайного времени обслуживания надо задать законы его распределения для каждого канала.

На практике расчет производят ЭВМ.