Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Интегралов
|
|
Приведем один из способов вычисления определенных интегралов методом Монте—Карло— способ усреднения подынтегральной функции.
Требуется найти оценку I 1 * определенного интеграла 
Рассмотрим случайную величину X, распределенную равномерно в интервале интегрирования (а, b)с плотностью f (х) = 1 / (b — а). Тогда математическое ожидание
Отсюда
Заменим математическое ожидание 
его оценкой—выборочной средней, получим оценку I 1 * искомого интеграла:
где xi— возможные значения случайной величины X. Так как величина Х распределена равномерно в интервале (а, b)с плотностью f (x) =1/ (b—а), то хi, разыгрывают по формуле 
(см. гл. XXI, § 7, правило 2). Отсюда хi=а+ (b—а) ri.
Пример. Наитии: а) оценку I 1 * определенного интеграла 
б) абсолютную погрешность | I-I 1 * |; в) минимальное число испытаний, которые с надежностью γ = 0, 95 обеспечат верхнюю границу ошибки δ =0, 1.
Решение. Используем формулу
По условию a =1, b ==3, φ (х) =х+ 1. Примем для простоты число испытаний n =10. Тогда оценка
Результаты 10 испытаний приведены в табл. 36. Случайные числа взяты из приложения 9 с тремя знаками после запятой.
Таблица 36
| Номер испытания i | ||||||||||
| r 1 2r 1 xi= 1 + 2 r 1 | 0, 100 0, 200 1.200 | 0, 973 1, 946 2, 946 | 0, 253 0, 506 1, 506 | 0, 376 0, 752 1.752 | 0, 520 1, 040 2, 040 | 0, 135 0, 270 1, 270 | 0, 863 1.726 2, 726 | 0, 467 0, 934 1, 934 | 0, 354 0, 708 1.708 | 0.876 1, 752 2, 752 |
| φ (xi)= xi +1 | 2, 200 | 3, 946 | 2, 506 | 2, 752 | 3, 040 | 2, 270 | 3, 726 | 2, 934 | 2, 708 | 3, 752 |
Сложив числа последней строки таблицы, находим 
Искомая оценка интеграла
I 1 * =2·(29, 834/10) ==5, 967.
б) Найдем абсолютную погрешность, приняв во внимание, что 
| I- I 1 * |=6—5, 967=0, 033.
в) Найдем дисперсию усредняемой функции φ (Х) =Х +1, учитывая, что случайная величина Х в интервале интегрирования (1, 3) распределена равномерно и ее дисперсия D (X) = (3—1)2/12 (см. гл. XII, § 1, пример 2):
σ 2 =D (X +1)= D (X)=1/3.
г) Найдем минимальное число испытаний, которые с надежностью 0, 95 обеспечат верхнюю границу ошибки δ =0, 1. Из равенства Ф (t)=0, 95/2=0, 475 по таблице приложения 2 находим t =1, 96. Искомое минимальное число испытаний
