Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод найменших квадратiв
|
|
ТЕМА: Регресійні моделі
Теоретична і розрахункова моделі
Теоретична лінійна модель Y = a0 + a1·x + u,
розрахункова модель Yр= â 0+â 1·x+ u^,
де â 0, â 1, u – відповідні оцінки, наближені значення параметрів теоретичної моделі
Acirc; 0 ~ a0, â 1·~ a1, u^ ~ u
В цьому рівнянні коефіцієнт a1 – це частинний коефіцієнт регресії, який характеризує чутливість величини у до зміни фактора х – вплив змінної x на зміну умовного математичного сподівання: як зміниться величина фактора Y за умов збільшення фактора Х на одну одиницю.
 |
у Yт
Yр
Yі(т) u
Yі u^
Ŷ і (р)
xі х
Бажано, щоб ui^ є N (0, s 2) - мали б нормальний закон розподілу.
Метод найменших квадратiв
Метод найменших квадратів – метод розрахунку параметрів моделі Yр= â 0 + â 1·x +ui^.
Ідея методу базується на тому, що величина uі має буде мінімальною:
= ∑ (yi - ỳ) або ∑ (yi - ỳ)2 або ∑ │ yi - ỳ │ ® min.
Краще всього в ролі функції оцінки відхилень взяти суму квадратів відхилень кожної точки від свого розрахункового значення
Q (â 0 , â 1) = 
= ∑ (yi - ỳ i)2 = ∑ (yi – (â 0 + â 1·xі+ u^i)) 2.
Ця функція має min значення в тих точках, де частинні похідні по змінних â 0, â 1 l дорівнюватимуть нулю:
=0, 
(yi – (â 0 + â 1·xі))(-1) = 0, ∑ yі – ∑ â 0 – ∑ â 1·xі = 0,
=0 ((yi – (â 0+ â 1·xі))(- xi)=0 ∑ yі·хі – â 0 ∑ хі – â 1 ∑ ·xі2 =0,
Записується остаточна система рівнянь: n â 0 + â 1 ∑ ·xі = ∑ yі ,
â 0 ∑ хі + â 1 ∑ ·xі2 =∑ yі·хі ,
n – кількість спостережень.
Розв’язання системи рівнянь проводиться за допомогою оберненої матриці або за правилом Крамера. Основний визначник системи 
, тому існує єдиний розв'язок системи: 
. З цього випливає, що лінія регресії проходить через точку, координати якої є середні значення показника Y та фактора X.
ả 1 = 
= 
= 
.
Ця рівність означає, що коефіцієнт ả 1 моделі ПЛР дорівнює відношенню кореляційного моменту до дисперсії фактора Х і дорівнює тангенсу кута між лінією регресії і віссю ОХ.
ả 0 = 
= 
.
Середнє значення прогнозу показника Y р при значенні фактора Хр визначається за формулою 
= ả 0 + ả 1 