Поле центральной симметрии
ДВИЖЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ
СИММЕТРИИ
Поле центральной симметрии
Поле центральной симметрии характеризуется тем, что потенциальная энергия частицы в таком поле зависит только от расстояния до некоторого центра. Задача заключается в том, чтобы определить стационарные состояния частицы, которая движется в поле .
Уравнение Шредингера для стационарных состояний в этом случае имеет вид
. (2.1)
Волновую функцию удобнее искать как функцию сферических координат . Мы должны найти однозначные, непрерывные и конечные решения уравнения (2.1) во всей области переменных ( ). Координаты изменяются периодически. Воспользовавшись (1.30) и (1.31), получим из (2.1)
. (2.2)
Сферическая симметрия позволяет выделить в волновой функции радиальный и угловой множители
. (2.3)
Подставим (2.3) в (2.2) и выполним некоторые преобразования
. (2.4)
Левая и правая часть (2.4) зависят от разных независимых переменных, поэтому каждая из них должна равняться одной и той же постоянной, которую обозначим через .
Таким образом, для радиальной и сферической функций получаем следующие уравнения
, (2.5)
. (2.6)
Уравнение (2.5) зависит от вида потенциальной энергии . Поэтому вид радиальных функций и собственные значения энергии определяются конкретным видом поля, в котором движется частица. Уравнение (2.6) не зависит от вида поля, в котором находится частица, и решение этого уравнения для всех сферически симметричных полей одинаково.
Представив в виде
(2.7)
и обозначив постоянную разделение через , для функций и получаем следующие уравнения:
, (2.8)
. (2.9)
Условие нормировки (1.6) для волновой функции в этом случае можно предоставить в виде
. (2.10)
Решение (2.8) можно записать в виде
, (2.11)
где – постоянный множитель.
Из требования однозначности вытекает, что должно быть любым положительным или отрицательным целым числом. Из условия нормировки (2.10) получим . Поэтому все собственные функции уравнения (2.8) могут быть представлены в виде
. (2.12)
Перейдем в уравнении (2.9) к новой переменной и будем рассматривать как функцию . Тогда имеем
. (2.13)
Функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной при всех значениях угла .
Уравнение (2.13) называется присоединенным уравнением Лежандра[1]. В частном случае имеем уравнение Лежандра
, (2.14)
которое имеет решения при условии
. (2.15)
Решением (2.14) (с точностью до множителя ) являются полиномы Лежандра 
(формула Родрига), (2.16)
а для (2.13) – присоединенные полиномы Лежандра
(2.17)
Из условия нормировки для присоединенных полиномов Лежандра
(2.18)
и условия нормировки для волновой функции (2.10) определяем нормирующий множитель в решении для функции . Следовательно,
. (2.19)
Окончательно сферическую часть волновой функции можно записать в виде
. (2.20)
В стационарном состоянии сохраняется полная энергия, момент импульса (момент количества движения) и проекция момента импульса частицы. Другими словами операторы , и должны иметь общие собственные волновые функции. Запишем уравнение для собственных значений и 
, (2.21)
, (2.22)
где операторы определяются (1.30) и (1.31). Воспользовавшись (2.7), (2.12) и (2.19), получим
, (2.23)
. (2.24)
Эти две формулы дают квантованные значения величины момента импульса и его проекции на ось . Поскольку компонента имеет определенное значение, две другие компоненты и согласно (1.25) определенных значений не могут иметь.
Определим четность волновой функции . Напомним, что выражение «волновая функция имеет определенную четность» означает, если в волновой функции координаты одновременно заменить на , то абсолютная величина функции не изменится, а ее знак либо не изменится (четная функция), либо изменится на противоположный (нечетная функция). В сферической системе координат отражения координат относительно начала координат сводится к замене на и на при неизменном значении . Следовательно, четность в (2.3) совпадает с четностью .
Множитель имеет четность , поскольку , а четность функции в соответствии с (2.12) определяется четностью числа . Четность произведения этих сомножителей совпадает с четностью числа . Следовательно, четность сферической функции определяется четностью квантового числа . Четность полной волновой функции частицы, которая движется в центрально-симметричном поле, совпадает с четностью квантового числа .
Квантовое число называют орбитальным квантовым числом, а квантовое число – магнитным.
Возможные значения энергии определяются из (2.5) и зависят от вида . Кроме того, они могут зависеть от (через число ), но не зависят от (и числа ). Это можно объяснить тем, что мы имеем дело с центрально-симметричным полем, а поэтому все направления в пространстве физически равноправны, и энергия не может зависеть от ориентации в пространстве момента импульса.
В реальных физических системах взаимодействие на больших расстояниях бесконечно мало. Это означает, что потенциальная энергия , и мы можем считать .
Характер решения уравнения (2.5) зависит от того, больше или меньше полная энергия значения потенциальной энергии, то есть или . Воспользуемся подстановкой
. (2.25)
В этом случае уравнение (2.5) принимает вид
. (2.26)
Сначала рассмотрим асимптотическое решение этого уравнения при . Пренебрегая для больших членом с и (при нашем условии ), получим простое уравнение
. (2.27)
Обозначив
и , (2.28)
получим общее решение в виде
, (2.29)
, (2.30)
где и – произвольные постоянные. Согласно с (2.25) асимптотическое решение уравнения (2.5) имеет вид
, (2.31)
. (2.32)
В первом случае ( ) решение представляет собой суперпозицию расходящихся и сходящихся сферических волн. Вероятность найти частицу в этом случае не исчезает даже при больших . Вероятность найти ее между и пропорциональна и объему слоя :
. (2.33)
Такие состояния отвечают апериодическим орбитам в классической механике, когда частица движется из бесконечности к центру сил и опять уходит на бесконечность. Поскольку состояние стационарно, поток частиц, которые приходят, должен равняться потоку частиц, которые уходят. Это означает, что . При этом условии решение (2.31) можно представить в виде стоячей сферической волны
, (2.34)
где и – действительные постоянные.
Рассмотрим случай . В (2.32) необходимо положить , иначе при . Тогда
, (2.35)
и для этих состояний
. (2.36)
Это означает, что при , то есть частицу можно найти только возле центра сил. Такие состояния отвечают периодическим орбитам в классической механике, когда частица движется вокруг силового центра.
Можно доказать, что решение (2.31) уравнения (2.26) имеет место при любых значениях энергии , то есть при мы имеем непрерывный спектр энергии. При будем иметь дискретный спектр энергии. Это мы покажем на примере кулоновского поля.
|