Определение предела функции. Основные теоремы о пределах.

Определение. (Предела функции в точке)

Число А называется пределом функции в точке х₀ (или при ), если для любого ε > 0 найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству < , выполняется неравенство < ε.

Записывают .

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. В приводимых теоремах будем считать, что пределы , существуют.

Теорема 1. Предел постоянной величины равен этой же постоянной:

.

Теорема 2. Для , справедливо: .

Теорема 3. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности)их пределов:

.

Теорема 4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

.

В частности , пÎ N.

Теорема 5. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

( ).

Примеры. 1) Вычислить .

Решение: = +7 =

2) Вычислить .

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя, при , равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на (, но ):

= = = .