Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Оптимальный синтез фильтров ПАВ на основе обменного алгоритма Ремеза
|
|
Рассмотренные выше методы синтеза позволяют проектировать фильтры ПАВ, отвечающие широкому кругу требований. Однако ни метод прямой свертки с весовой функцией, ни метод частотной выборки не гарантируют получение оптимальных характеристик. Под термином «оптимальный» будем понимать взвешенную чебышевскую аппроксимацию заданной АЧХ и ФЧХ фильтра, при которой для заданных границ полос пропускания и заграждения минимизируется абсолютная величина ошибки АЧХ и ФЧХ на всем интервале рассматриваемых частот, а под термином «оптимальный синтез» — истоды синтеза фильтров, обладающих оптимальными (в чебышевском смысле) АЧХ и ФЧХ.
Задачи оптимального синтеза аналоговых LC- и СВЧ фильтров решались [21] на основе методов линейного и нелинейного программирования, а в [24] сформулирована задача аппроксимации требуемой характеристики цифрового фильтра нижних частот для двух раздельных интервалов — полосы пропускания и полосы заграждения без определения характеристик в переходной полосе, и показано, что обменный алгоритм Ремеза [63] является эффективным средством для расчета фильтров с оптимальными характеристиками.
В [52] показано, что методы проектирования нерекурсивных цифровых фильтров на основе линейного и нелинейного программирования при соответствующей доработке могут быть использованы для оптимальных синтезов фильтров ПАВ. Хотя линейное программирование является весьма гибким инструментом и может быть использовано для аппроксимации характеристик широкого класса фильтров ПАВ, оно представляет собой сравнительно медленный вычислительный процесс, что ограничивает полосу пропускания рассчитываемых с его помощью фильтров D f / f 0³ 20¸ 40%. Нелинейное программирование при сравнимых параметрах рассчитываемого фильтра требует еще больших затрат машинного времени. Поэтому для расчета оптимальных фильтров ПАВ предложено [54] использовать обменный алгоритм Ремеза [63], который решает чебышевскую аппроксимационную задачу посредством поиска экстремальных частот наилучшего приближения. Отличительной особенностью этого метода является осуществление оптимальной чебышевской аппроксимации частотных характеристик ВШП на нескольких полосах рассматриваемого интервала частот при заданной длительности импульсной характеристики. В качестве исходных данных используются точные значения нескольких полос пропускания и заграждения и относительные уровни этих полос, как показано на рис. 3.18.
В каждом из шести вариантов построения ВШП с линейной и нелинейной фазой (см. табл. 2.5) передаточная функция H (i w)= D (w)e i q(w) и действительные характеристики D (w), R (w) и J (w) являются линейными комбинациями различных базисных функций. Для использования в алгоритме Ремеза единой процедуры вычислений, а также для удобства дальнейших выкладок и расчетов удобнее свести все случаи к одному с косинусными функциями в качестве базисных [43].
Используя тригонометрические соотношения 
и 
, указанные действительные характеристики из табл. 2.5 можно переписать в виде произведений D (w)= Q 1(w) P (w), R (w)= Q 2(w) P (w), J (w)= Q 3(w) P (w), где 
—линейная комбинация косинусов. В табл. 3.6 приведены формулы для вычисления характеристик D (w), R (w), J (w) и коэффициентов 
импульсной характеристики h (nT 0) преобразователя через коэффициенты 
соответствующие линейной комбинации Р (w) для всех шести вариантов построения ВШП.
Рис. 3.18. Определение частотной характеристики оптимального полосового фильтра ПАВ
Выражая перечисленные функции через сомножители Qj (w)и Pj (w), уравнения (3.9) нормы функции ошибки для общего случая ВШП с нелинейной фазой можно переписать в виде
(3.22)
где 
; 
; 
; 
— соответственно модифицированные функции ошибки, модуль, действительная и мнимая части передаточной функции ВШП; 
Теперь задача чебышевской аппроксимации сводится к определению последовательности коэффициентов минимизирующих функцию ошибки E 1, 2 (w). По теории чебышевской аппроксимации компактных множеств задача, аналогичная (3.22), имеет единственное решение, а необходимые условия, характеризующие наилучшую аппроксимацию, выражаются теоремой чередований Чебышева [41], которая применительно к расчету ВШП может быть сформулирована следующим образом [54].
Пусть Р (w)—линейная комбинация R косинусных функций, т. е. 
. Тогда необходимое и достаточное условие того, что Р (w) будет единственным и наилучшим взвешенным чебышевским приближением к некоторой непрерывной функции 
интервале частот [0, ws/2], состоит в том, что взвешенная функция ошибки E (w) должна иметь на 2p F по крайней мере R+ 1экстремальных частот, т е. на 2p F должно существовать R+ 1 точек w j таких, что w1< w2< …< wR< wR+1, и таких, что 
и 
. Для решения аппроксимационной задачи в случае ВШП с
Таблица 3.6. Формулы для вычисления сомножителей Qi (w), Рj (w) и коэффициентов an
| Вариант | Функция | Сомножители | Коэффициенты аn импульсной характеристики | |
| Qj (w) | Pj (w) | |||
| Вариант 1: A =2 N +1 | D (w) | 1, 0 | 
|
|
| Вариант 2: A =2 N | D (w) |
| 
|  
|
| Вариант 3: A =2 N +1 | D (w) |
| 
|  
|
| Вариант 4: A =2 N | D (w) |
| 
| 
|
| Вариант 5: A =2 N | R (w) J (w) |
| 
| 
|
| Вариант 6: A =2 N +1 | R (w) J (w) |
1, 0
|
|
|
нелинейной фазой, когда заданная передаточная функция H (i w) состоит из четной действительной R (w) и нечетной мнимой J (w) составляющих, следует дополнительно использовать лемму Бернштейна [41], которая применительно к синтезу ВШП и фильтров ПАВ звучит следующим образом.
Если множество ±2p F 1 симметрично относительно начала координат и базисные функции j1(w), …, j n +1(w) аппроксимирующей системы распадаются на две группы функции первой группы j1(w), j2(w), …, j l (w) — четные и функции второй группы j l +1(w), j l +2(w), …, j R +1(w) — нечетные, то наилучшее приближение данной функции H (i w) на множестве ±2p F 1 при помощи обобщенных полиномов всей системы то же, что при помощи только полиномов первой (четной) группы, когда H (i w) — четная функция, а когда H (i w) — нечетная функция, то оно равно наилучшему приближению при помощи полиномов только нечетной группы.
Поиск же оптимальных решений для коэффициентов ап импульсной характеристики и экстремальных частот w j осуществляется с помощью обменного алгоритма Ремеза следующим образом.
Сначала производится начальное определение R +2 экстремальных частот wо, w1, …, w R +1, w j > w j +1, на которых функция ошибки имеет попарно противоположные значения ±e j. Для этого потребуется решение R +2 уравнений
W (w j)[ K (w j)- P (w j)]=-(-1) i e; j =0, 1, 2, …, R +1.
Для вычисления e наиболее эффективным оказывается аналитический способ [43, 54]
(3.23)
где 
и 
После вычислений e для интерполяции Р (w) по значениям 
в R точках w0, w1,... w R -1 используется интерполяционная формула Лагранжа в барицентрической форме [63]
где
(3.24)
Далее вычисляется функция ошибки E (w о) и находятся частоты локальных экстремумов {w о }, о =0, 1, 2,..., R +l, функции Е (w j). Если на некоторых из этих частот условия E (w j)=- E (w j +1) и e j =| E (w j)|< e не выполняются, то в качестве предполагаемых значений экстремальных частот выбирается уже новый ряд R— 1 частот {w j +1}. Новые точки выбираются как пиковые точки кривой результирующей ошибки, что способствует приближению e j к ее верхней границе e, которая является конечной щелью решения задачи. Если на какой-либо итерации экстремумов у E (w j) больше, чем R +1, то в качестве исходного ряда экстремальных частот оставляют только те значения, на которых | E (w j)| принимает наибольшее значение, и процесс вычисления а 0, а 1, …, аR -1 и e j повторяется. Описанный итерационный процесс достаточно быстро сходится.
При проектировании фильтров ПАВ апертура электродов ВШП выбирается обычно равной (30—80)lo; наличие же дифракции и краевых эффектов ограничивает минимальное перекрытие штырей величиной около l/4. Поэтому допустимый интервал изменений коэффициентов ап составляет около 200: 1. При нормированном ап < 0, 005 процесс вычислений по описанному алгоритму может быть прекращен, после чего необходимо увеличить апертуру и число электродов ВШП.
Первым шагом при расчете ВШП с оптимальными характеристиками является определение длительности Т импульсной характеристики или числа электродов А преобразователя исходя из заданных переходных полос D fsj от области пропускания к области заграждения и величина пульсации и вз в этих областях. В случае ВШП с многополосной АЧХ, показанной на рис. 3.18, можно считать, что АЧХ образована несколькими эквивалентными фильтрами нижних или верхних частот. При таком предположении число электродов ВШП можно оценить по формуле для цифрового фильтра нижних частот [24]:
(3.25)
где 
—нормированная j -переходная полоса. Поскольку при расчете ВШП с многополосной АЧХ необходимо учитывать большое количество параметров (величина пульсации в различных полосах, границы полос и т. п.), однозначную связь между которыми установить практически невозможно, число электродов А необходимо выбирать наибольшим из полученных по формуле (3.25) для различных Dw sj. При сильном различии значений A 1, A 2,..., Aj пульсации eп j или e3 j будут занижены для какой-нибудь полосы j, что приведет к немонотонности и выбросам АЧХ в переходных полосах Dw sj.
Удовлетворительные характеристики многополосного ВШП возможны при соблюдении условия A 1» A 2»…» Aj»…» Apj для всех Pj полос. Условие Aj =const можно удовлетворить при следующих изменениях исходных параметров ВШП:
сужая некоторые переходные полосы Dw sj путем расширения полос заграждения и увеличения Aj для этих полос;
уменьшая пульсации eп j или e3 j для некоторых полос j и также увеличивая Aj.
Первый способ предпочтительнее, так как в этом случае границы полос пропускания остаются неизменными, а скаты АЧХ становятся круче. Второй же способ может привести к чрезмерному увеличению Aj, так как типичная величина пульсации в полосах заграждения ВШП составляет eп j =10-3¸ 10-4 (-60¸ 80дБ), а в полосах пропускания eп j =(2¸ 15)10-3(0, 1¸ 0, 3дБ).
Из рис. 3.19, на котором показаны зависимости уровня пульсации e3 для трехполосного ВШП от числа электродов и ширины переходной полосы при f 0=35 МГц и D f 3=5 МГц (D f 3/ f 0=14, 3%,), видно, что пульсации e3 в полосе заграждения ВШП с оптимальными характеристиками уменьшаются с ростом числа электродов А и расширением переходной полосы D f 3. При этом для постоянной весовой функции W (w) уровень пульсации e3 остается неизменным во всей полосе заграждения в отличие от ВШП, рассчитанных по методам прямой свертки с весовой функцией или частотной выборки.
Для постоянного числа электродов А значение e3 резко падает с увеличением весовой функции W (w). При одной и той же длине импульсной характеристики ВШП и величине пульсации e3 в полосе заграждения коэффициенты 
импульсной характеристики оптимального преобразователя в 2 раза больше аналогичных коэффициентов, полученных при расчете по методу прямой свертки с весовой функцией Кайзера. Поэтому в оптимальных ВШП искажения характеристик вследствие дифракции ПАВ будут меньше.
Экстремальные точки функции ошибки E (w) для оптимального ВШП расположены на частотах, где dE (w)/ d w= dH (i w)/ d w=0. В соответствии с теоремой чередований 
имеет R нулей на интервале 2p Р; возможными дополнительными экстремумами являются граничные точки полос пропускания и заграждения. Поэтому максимальное число пульсации Ms многополосной АЧХ оптимального ВШП будет
0, 5(A +3)£ Ms £ 0, 5(A +1)+2(Pj -1) (3.26)
для нечетного числа электродов и для четного числа
0, 5(A +2)£ Ms £ 0, 5 A +2(Pj -1), (3.27)
где Pj — число полос в АЧХ преобразователя.
На рис. 3.20 показана АЧХ (Л =210) преобразователя фильтра ПАВ, удовлетворяющего требованиям к частотной характеристике УПЧИ телевизионных приемников по ГОСТ 18198—79. Для оптимального синтеза частотную область 0£ w/w s £ 0, 5 пришлось разделить на четыре полосы.
 |  | ||
Применение весовой функции W I(w)=12/(l—4, 05w)/w s) позволило получить глубокую режекцию на частоте 30, 0 МГц (до -68, 1 дБ) и некоторое увеличение затухания (до -56, 25 дБ) в полосе заграждения D f IV.
В заключение можно сделать вывод, что метод синтеза ВШП на основе обменного алгоритма Ремеза, обеспечивающий одновременное получение оптимальных АЧХ и ФЧХ, имеет несомненное преимущество и может быть рекомендован для широкого использования при проектировании фильтров ПАВ. Для расчетов (в том числе и ручным способом) фильтров с нежесткими требованиями к границам частотных характеристик следует использовать метод прямой свертки, а для синтеза ВШП со сложными передаточными функциями рекомендуется метод частотной выборки.