Задание 4. Объем цилиндрического тела, ограниченного снизу и сверху непрерывными поверхностями z=f1(x,y) и z=f2(x,y) и с боков прямой цилиндрической поверхностью

Объем цилиндрического тела, ограниченного снизу и сверху непрерывными поверхностями z=f ₁ (x, y) и z=f ₂ (x, y) и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вычисляется по формуле

где D – проекция тела на плоскость ХОУ.

Рассмотрим пример. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями и цилиндрической поверхностью

Решение. Сверху и снизу тело ограничено поверхностями . Перепишем их в виде z=f(x, y), имеем

Проекцией тела на плоскость ХОУ будет верхняя часть эллипса полуоси которого равны 2 и 3 (рис.3).

Таким образом, объем тела равен

Поскольку область интегрирования D является симметрично относительно оси Оу, то двойной интеграл можно вычислить только по той части эллипса, которая находится в I четверти, а результат умножить на 2. Получим

=