Задание 8. В данном задании требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

В данном задании требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Для этого можно воспользоваться методом Бернулли, который заключается в замене y=uv, где u и v – функции, зависящие от переменной х. Тогда, согласно правилу дифференцирования произведения, производная функции у будет равна y'=u'v+uv'.

Рассмотрим пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному условию.

Сделаем замену: y=uv, тогда y'=u'v+uv'.

Перепишем уравнение в виде:

Составим систему уравнений:

Решим первое уравнение.

дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными;

;

;

.

Подставим найденную функцию v во второе уравнение системы и решим его.

.

u' =2 x -1 – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

u=x ² -x+c.

Запишем общее решение.

y=uv=(x ² -x+c)

Найдем решение, удовлетворяющее условию у (2)=4,

(2²-2+с) =4Þ с=0.

Таким образом, y=(x ² -x) =х(х- 1 ) =х ².

Ответ: у = х ².