Решение задачи межотраслевого баланса (модель Леонтьева)

Основой многих линейных моделей производства является схема межот­раслевого баланса. Идея метода впервые в явном виде была сформулирована в работах советских экономистов в 20-х годах и получила затем развитие в тру­дах В.В Леонтьева по изучению структуры американской экономики. Предпо­ложим, что производственный сектор народного хозяйства разбит на п отраслей. Причем каждая отрасль выпускает продукт только одного типа, а разные отрасли выпускают разные продукты. Кроме того, в процессе производ­ства своего вида продукта каждая отрасль нуждается в продукции других от­раслей. В качестве примера рассмотрим упрощенную модель межотраслевого баланса, предполагая, что экономика страны состоит из 3-х отраслей (промыш­ленности, сельского хозяйства и транспорта).

Введем следующие обозначения у _i - конечный спрос на продукцию i -й от­расли, х _i - выпуск продукции i -й отрасли. c _ij - доля продукции отрасли i, по­требленной в процессе производства продукции отрасли j. В этом случае в со­ответствии с моделью Леонтьева имеем следующую систему линейных уравне­ний:

Задача состоит в нахождении неизвестных x ₁, x ₂, x ₃. Остальные величины считаются заданными. Заметим, что все коэффициенты c _ijизменяются в преде­лах от 0 до 0, 3. Это обеспечивает сходимость при использовании итерационных методов.

Последовательность действий при реализации модели в пакете Excel с использованием метода простой итерации (рис. 8).

1. Ввести в ячейку H1 текст заголовка «Модель Леонтьева» (выравнивание по центру).

2. Ввести в ячейку H2 текст «Данные» (выравнивание по центру).

3. В области F4: J7 ввести исходные данные как показано на рисунке.

4. Обозначить в области А9: А12 номер итерации k и названия переменных х 1, х 2, x 3.

5. В области В9: В12 задать начальные значения переменных (нули).

6. В ячейку С9 ввести 1, выделить ячейки В9 и С9 и, используя прием протас­кивания, заполнить ряд до столбца О.

7. Ввести в ячейку С10 формулу «=($J$5+$H$5*B11+$I$5*B12)/(1-$G$5)». Получим значение переменной х 1 на первой итерации.

8. Ввести в ячейку С11 формулу «=($J$6+$G$6*B10+$I$6*B12)/(1-$H$6)». Получим значение переменной х 2 на первой итерации.

9. Ввести в ячейку С12 формулу «=($J$7+$G$7*B10+$H$7*B11)/(1-$I$7)». Получим значение переменной х 3 на первой итерации.

10. Выделить диапазон С10: С12 и скопировать его до столбца О, используя при­ем протаскивания

11. В области A14: O33 построить диаграмму, показывающую процесс прибли­жения значений переменных х 1, х 2, х 3 к решению системы. Диаграмма строится в режиме «Точечная», где по оси абсцисс откладывается номер итерации.

Рис. 8