ЕН.Ф.05 Теория игр

1. В конфликтной ситуации участвует две стороны: А — го­сударственная налоговая инспекция и В — налогоплательщик с опре­делённым годовым доходом, налог с которого составляет Т условных денежных единиц. У стороны А два возможных способа поведения. Один из них А₁ состоит в контролировании дохода налогоплательщика В и взимании с него налога в размере Т, если доход заявлен и соответствует действительности; налога в размере Т и штрафа в размере W, если в декларации заявлен доход, меньший действительного, или в случае сокрытия всего дохода. Второй способ поведения А₂ — не контролировать доход налогоплательщика В. У стороны В три стратегии поведения: В₁ — заявить о действительном доходе; В₂ — заявить доход меньший действительного, и, следовательно, налог S с заявленного дохода будет меньше Т; В₃ — скрыть доход, тогда не надо будет платить налог. Составить платежную матрицу игры — матрицу выигрышей иг­рока А. Решить игру графически, если Т=5000, W=2000, S=1000 у.е. Дайте рекомендации обоим игрокам по выбору оптимальной стратегии.

2. Предприниматель (игрок А) располагает двумя видами товаров, которые он стремится реализовать на рынке, где возможна продажа конкурентом (игрок В) аналогичных товаров. Предпринимателю не известно, какой вид товаров конкурент будет продавать на рынке, а конкуренту не известно, какие товары предпринимателя на этом рынке появятся. Игрок А обладает двумя возможными стратегиями A_i — продавать товар i-го вида, i=l, 2. Игрок В также может придерживаться одной из двух стратегий B_j — продавать товар j-го вида, j=1, 2. Предприниматель располагает данными о том, какова вероятность продать тот или иной товар при наличии на рынке товаров конкурента. Если эти ве­роятности рассматривать в качестве выигрышей предпринимателя, то они образуют следующую матрицу игры:

Определить верхнюю и нижнюю цены игры, максиминную стратегию игрока А и минимаксную стратегию игрока В. Найти оптимальные смешанные стратегии игрока А и игрока В графическим методом.

3. Сельскохозяйственное предприятие производит картофель. Посевная площадь картофеля составляет 100 га. Хозяйство имеет договор с магазином, который гарантированно закупит весь произведённый картофель по цене 12 д.е. за 1 кг. При выращивании картофеля хозяйство может принять одно из трёх решений, различающихся по сумме затрат на производство продукции:

A1. Провести комплексную обработку растений для предотвращения поражения сорняками, вредителями и болезнями (затраты - 6 млн. д.е.).

A2. Провести частичную обработку растений (затраты – 4 млн. д.е.).

A3. Не проводить обработку растений (затраты – 2.5 млн. д.е.).

В зависимости от погодных условий, наличия и развития сорняков, вредителей и болезней возможны следующие ситуации:

S1. Условия для развития сорняков, вредителей и болезней неблагоприятные.

S2. Условия для развития сорняков, вредителей и болезней обычные.

S3. Условия для развития сорняков, вредителей и болезней благоприятные.

Значения урожайности картофеля (в ц/га) в зависимости от решений сельскохозяйственного предприятия и развития сорняков, вредителей и болезней приведены в таблице:

Определите наиболее выгодные стратегии по критериям принятия решения в играх с природой в условиях полной неопределенности (критерий максимакса, Вальда, Севиджа, Гурвица с коэффициентом оптимизма 60 %) и в условиях риска (Байеса с вероятностями состояний S1, S2 и S3 соответственно 0, 1, 0, 5 и 0, 4, Лапласа и по критерию Ходжа-Лемана с параметром достоверности вероятностей состояния природы 80%).

4. Решить графически игру, заданную матрицей: