Приложения смешанного произведения.

1) Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех векторах как на ребрах.

V_парал= │ abc│.

Из геометрии: V_парал= S_осн· h.

S_осн= S_пар=│ a´ b│.

Из приложения векторного произведения:

h=│ с│ ·cos φ.

V_парал= │ a´ b │ ·│ c│ ·cos φ =│ (a´ b) • с│ =│ abc│.

Следствие: высота параллелепипеда h= .

2) V_тетр= V_парал= │ abc│.

Из геометрии: V_тетр= S_осн· h; h_тетр= .

3) Если смешанное произведение abc> 0, то тройка векторов правая; если abc< 0, то тройка векторов левая.

abc= (a´ b) • с = │ a´ b│ ·│ c│ ·cos φ.

abc> 0, cos φ > 0, Ð j- острый, abc - правая тройка.

abc< 0, cos φ < 0, Ð j- тупой, abc - левая тройка.

4) abc – компланарные, если параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.

Условие компланарности: abc=0.

a´ b ^ плоскости α.

a´ b ^ с, (a´ b) • с = 0 (условие перпендикулярности двух векторов), abc=0.