Векторное произведение в координатной форме.

a´ b= (a_xi + a_yj + a_zk)× (b_xi + b_yj + b_zk)= a_x b_x i× i + a_x b_y i× j + a_x b_z i × k +

+a_y b_x j× i + a_y b_y j× j + a_y b_z j× k + a_z b_x k× i + a_z b_y k× j + a_z b_z k× k=

= a_x b_y k – a_x b_z j- -a_y b_x k+ a_y b_z i+ a_z b_x j - a_z b_y i=

= i(a_y b_z - a_zb_y)- j(a_x b_z - a_z b_x)+ k(a_x b_y - a_y b_x)=

=i - j + k .

.

Приложения векторного произведения.

1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, как на сторонах, численно равна модулю векторного произведения a ´ b.

S_пар=│ a ´ b│.

Из геометрии: S_пар=│ a│ ·│ b│ sin φ.

Так как │ a ´ b│ = │ a│ ·│ b│ sin φ, отсюда следует, что S_пар=│ a ´ b│.

Следствие: из геометрии S_пар=│ a·│ h_a, ,

где h_a – высота, проведенная к стороне a.

2) .

3) a║ b. Отсюда следует, что a´ b=0 (из условия коллинеарности двух векторов).

│ a´ b│ = │ a│ ·│ b│ sin φ = 0,

│ a´ b│ = 0.