Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

КУРС ЛЕКЦИЙ

По дисциплине «Математика» 1 семестр

Для студентов заочной формы обучения

Раздел №1 «Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии»

Волгодонск

Линейные (векторные) пространства.

Определение: Множество L называется линейным (векторным) пространством, если на нем введены две операции:

1) сложение: для любых х, у Є L сумма (х + у) Є L,

2) умножение на число: для любого х Є L и любого числа λ произведение

λ х Є L,

которые удовлетворяют 8 аксиомам:

1) х + у = у + х, где х, у Є L;

2) (х + у)+z = x+(у + z), где х, у, z Є L;

3) существует нулевой элемент Ө такой, что Ө + х = х, где х Є L;

4) для любого х Є L существует единственный противоположный элемент

(–х) такой, что х + (-х)= Ө;

5) 1·х = х, где х Є L;

6) α (β х) = (α β)х, где х Є L, α и β - числа;

7) α (х + у) = α х + α у, где х, у Є L, α - число;

8) (α + β) х = α х + β х, где х Є L, α и β - числа.

Замечание: Элементы линейного (векторного) пространства называют векторами.

Примеры:

Множество действительных чисел является линейным пространством.

Множества всех векторов на плоскости и в пространстве являются линейным пространством.

Множество всех матриц одного размера является линейным пространством.

Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.

Дана в линейном пространстве система векторов а_1, а_2, а_{3, …} а_n Є L.

Определение: Вектор α ₁ а₁+ α ₂ а₂+…+ α _n а_n Є L, где α _i (i = 1, …, n) - числа, называется линейной комбинацией (ЛК) векторов а_1, а_2, а_{3, …} а_n.

Определение: Система векторов линейного пространства а_1, а_2, а_{3, …} а_n Є L называется линейно независимой (ЛНЗ), если линейная комбинация

α ₁ а₁+ α ₂ а₂+α ₃ а₃+…+ α _n а_n=0 тогда и только тогда, когда коэффициенты

α ₁ =α ₂ =α ₃ =…=α _n=0.

Определение: Система векторов а_1, а_2, а_{3, …} а_n Є L называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует набор чисел α _1, α ₂ , α ₃ … α _{n ,} не все из которых равны 0, такие что линейная комбинация α ₁ а₁+ α ₂ а₂+…+ α _n а_n= 0.

Примеры:

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой или лежат на одной прямой.

1) Рассмотрим два ненулевых, неколлинеарных вектора на плоскости. Диагональ =0 .

а₁ α ₁ а₁

Два ненулевых, не коллинеарных вектора на плоскости линейно независимы.

2) Рассмотрим два ненулевых, коллинеарных вектора а₁ ║ а₂.

Линейная комбинация равна нулю, есть не нулевой коэффициент, следовательно, два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы.