Задание 3. Для функции, заданной таблицей узловых значений, вычислить коэффициенты и составить формулы кубического сплайна.

Лабораторная работа №4

Приближение функций

Задание 1. По заданной таблице значений функции составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа. Построить его график.

Задание 2. Вычислить одно значение заданной функции для промежуточного значения аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа и оценить погрешность интерполяции. Этот же результат получить с помощью программы для компьютера.

Задана функция , а также известны значения функции

А. Используя метод ручного вычисления заполнена следующая таблица:

3, 5	1, 2	1, 9	3, 3	4, 7	5, 4	6, 8	7, 5
	2, 3	-0, 7	-2, 1	-3, 5	-4, 2	-5, 6	-6, 3	1753, 441	0, 3486	0, 000199
	0, 7	1, 6	-1, 4	-2, 8	-3, 5	-4, 9	-5, 6	-421, 654	1, 0537	-0, 0025
	2, 1	1, 4	0, 2	-1, 4	-2, 1	-3, 5	-4, 2	25, 41218	1, 7844	0, 070218
	3, 5	2, 8	1, 4	-1, 2	-0, 7	-2, 1	-2, 8	67, 76582	2, 2103	0, 032617
	4, 2	3, 5	2, 1	0, 7	-1, 9	-1, 4	-2, 1	-120, 708	2, 3712	-0, 01964
	5, 6	4, 9	3, 5	2, 1	1, 4	-3, 3	-0, 7	652, 2461	2, 6322	0, 004036
	6, 3	5, 6	4, 2	2, 8	2, 1	0, 7	-4	-2439, 57	2, 7411	-0, 00112
										0, 083803

Для нахождения окончательного результата сумма значений столбца умножается на произведение диагональных разностей:

Т.к. известно аналитическое выражение интерполируемой функции для сравнения вычислим результат

Б. Далее составлена программа для компьютера на языке C# 4.5

результат выполнения

using System;

namespace lab4_2

{

class Program

{

static void Main()

{

int i, j, n=7;

double a=3.5, l, f;

double[] x = {1.2, 1.9, 3.3, 4.7, 5.4, 6.8, 7.5};

double[] y = {0.3486, 1.0537, 1.7844, 2.2103, 2.3712, 2.6322, 2.7411};

f = 0;

for(i=0; i< n-1; i++)

{

j = 0;

l = 1;

lebel1: if (i == j) j++;

if (j < = n-1)

{

l=l*(a-x[j])/(x[i]-x[j]);

j++;

goto lebel1;

}

l = y[i] * l;

f = f + l;

}

Console.Write(" При а = 3, 5 \nf(3, 5) = " + f);

Console.Read();

}

}

}

Результат выполнения программы в среде Microsoft Visual Studio 2012 express

Далее необходимо оценить погрешность интерполяции по формуле

где

;

производная (n+1) порядка

Далее необходимо найти производную 7 порядка от

; ;

7! = 5040

Погрешностью интерполяции в точке (или локальной погрешностью) называется модуль остатка интерполяции в этой точке

Исходя из оценки интерполяционной погрешности вычисленные значения находятся в допустимых пределах.

Задание 3. Для функции, заданной таблицей узловых значений, вычислить коэффициенты и составить формулы кубического сплайна.

Используя формулы 4.52 стр. 226

и обозначения

Учитывая, что , составлена система уравнений для нахождения коэффициентов

;

Далее по формуле 4.51 стр. 226 вычислены коэффициенты

Далее по формуле 4.48 стр. 226 вычислены коэффициенты

Поскольку значения коэффициентов – значения функции из таблицы, то сплайн построен

Проверка результатов интерполирования путем вычисления значений сплайна в узловых точках показывает, что сплайн построен верно