Принцип взаємності в теорії кіл. Матричне тлумачення.

Принцип взаємності установлює зв’язок між струмами та напругами у двох вітках пасивного кола при дії в них джерел різного характеру.

ЕРС і породжує струм у вітці . Тоді, якщо помістити у вітку джерело з ЕРС то струм у вітці буде рівним струму . Сформульований принцип не є очевидним. Доведемо його. Чотириполюсник будемо характеризувати з допомогою -параметрів. Пристосуємо рівняння в системі -параметрів до двох випадків задекларованих у принципі взаємності і показаних на рис. 4.19. У першому випадку , отже з другого рівняння маємо - . Другий випадок - , звідки . Оскільки для пасивних чотириполюсників то і якщо . Твердження доведено.

,

звідки - .

Після перенесення

,

Виключимо з цієї системи, як і в попередньому випадку, напругу на джерелі струму, і, отримаємо: . Отже, якщо , а чотириполюсник пасивний (), то маємо, що .

3. При порівнянні струму зумовленого джерелом струму та напруги зумовленої дією ЕРС (рис.4.21) теж проявляється принцип взаємності. Відношення - коефіцієнт передачі за струмом від вітки до - дорівнює коефіцієнту передачі за напругою в протилежному напрямку - від вітки до вітки : . При доведенні для характеристики чотириполюсника знову скористаємося -параметрами. Враховуючи, що при знаходженні коефіцієнту передачі за струмом , маємо:

,

Застосування принципу взаємності разом з принципом суперпозиції дозволяє спростити розрахунок струмів чи напруг у вітках, які утримують в собі джерела ЕРС або струму. Причому розрахунки значно скорочуються при аналізі кіл із значною кількістю джерел.

Контрольні запитання

1.Для чого потрібні еквівалентні схеми чотириполюсників?

2.Чи буде передаватися максимальна активна потужність від генератора до чотириполюсника і від чотириполюсника до навантаження при узгоджені по характеристичним параметрам?

3. Як на практиці рекомендують знаходити вихідний опір чотириполюсника?

4. Від чого залежать частотні характеристики навантаженого чотириполюсника?

5. У якому випадку доцільно мати справу з характеристичними параметрами? Сформулюйте визначення характеристичних опорів.

6. Який фізичний зміст має третій характеристичний параметр – міра передачі?

7. У яких випадках при каскадному з’єднанні чотириполюсників їх можна замінити одним, еквівалентним, у якого коефіцієнт передачі за напругою дорівнює добутку коефіцієнтів передач за напругою окремих чотириполюсників?

Задачі

1. Окрім еквівалентних схем з керованими джерелами
(рис.4.3 – рис.4.5) часто внутрішню еквівалентну схему чотириполюсника задають відповідним чином з’єднаними пасивними елементами. Найбільш поширені Т-подібна та П- подібна еквівалентні схеми (рис. 4.22 а, б відповідно). Знайдіть параметри елементів Т-подібної та П- подібної еквівалентних схем, якщо для Т-подібної схеми відомі Z-параметри а для П-подібної - Y-параметри.

2. Знайдіть параметри П-подібної схеми характеристичного атенюатора який забезпечує згасання сигналу на 3 дБ і працює на характеристичний опір 75 Ом.

3. Покажіть, що для пасивного чотириполюсника , а .

4. Методами теорії чотириполюсників знайти вхідний опір нескінченного ланцюжка резисторів (рис.4.23)

5. Чотириполюсник характеризується Z параметрами і приєднаний до джерела та навантаження так як показано на рис.4.11. Знайти напругу на навантаженні якщо: Ом, Ом, , , а