Решение нелинейных уравнений

1.1. Постановка задачи

Пусть дана некоторая функция и требуется найти все или некоторые значения , для которых .

Значение , при котором , называется корнем (или решением) уравнения. Относительно функции часто предполагается, что дважды непрерывно дифференцируема в окрестности корня.

Корень уравнения называется простым, если первая производная функции в точке не равна нулю, т. е. . Если же , то корень называется кратным корнем.

Геометрически корень уравнения есть точка пересечения графика функции с осью абсцисс. На рис. 1 изображен график функции , имеющей четыре корня: два простых и два кратных .

Рис. 1

Большинство методов решения уравнения ориентировано на отыскание простых корней.

1.2. Основные этапы отыскания решения

В процессе приближенного отыскания корней уравнения обычно выделяют два этапа: локализация (или отделение) корня и уточнение корня.

Локализация корня заключается в определении отрезка , содержащего один и только один корень. Не существует универсального алгоритма локализации корня. Иногда удобно бывает локализовать корень с помощью построения графика или таблицы значений функции . На наличие корня на отрезке указывает различие знаков функции на концах отрезка. Основанием для этого служит следующая теорема.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков так что , то отрезок содержит по крайней мере один корень уравнения.

Однако корень четной кратности таким образом локализовать нельзя, так как в окрестности такого корня функция имеет постоянный знак. На этапе уточнения корня вычисляют приближенное значение корня с заданной точностью . Приближенное значение корня уточняют с помощью различных итерационных методов. Суть этих методов состоит в последовательном вычислении значений , которые являются приближениями к корню .

1.3. Метод половинного деления

Метод половинного является самым простым и надежным способом решения нелинейного уравнения. Пусть из предварительного анализа известно, что корень уравнения находится на отрезке , т. е. , так, что . Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. .

Разделим отрезок пополам. Получим точку . Вычислим значение функции в этой точке: . Если , то – искомый корень, и задача решена. Если , то – число определённого знака: либо . Тогда либо на концах отрезка , либо на концах отрезка значения функции имеют разные знаки. Обозначим такой отрезок . Очевидно, что и длина отрезка в два раза меньше, чем длина отрезка . Поступим аналогично с отрезком . В результате получим либо корень , либо новый отрезок и т. д. (рис. 2).

Рис. 2

Середина -го отрезка . Очевидно, что длина отрезка будет равна , а так как , то

. (1)

Критерий окончания. Из соотношения (1) следует, что при заданной точности приближения вычисления заканчиваются, когда будет выполнено неравенство или неравенство . Таким образом, количество итераций можно определить заранее. За приближенное значение корня берется величина .

Пример. Найдем приближенно с точностью . Эта задача эквивалентна решению уравнения , или нахождению нуля функции . В качестве начального отрезка возьмем отрезок . На концах этого отрезка функция принимает значения с разными знаками: . Найдем число делений отрезка , необходимых для достижения требуемой точности. Имеем:

.

Следовательно, не позднее 6-го деления найдем с требуемой точностью, . Результаты вычислений представлены в таблице 1.

Таблица 1

	1, 0000	1, 0000	1, 0000	1, 1250	1, 1250	1, 1406	1, 1406
	2, 0000	1, 5000	1, 2500	1, 2500	1, 1875	1, 1875	1, 1562
	1, 5000	1, 2500	1, 1250	1, 1875	1, 1406	1, 1562	1, 1484
Зн	-	-	-	-	-	-	-
Зн	+	+	+	+	+	+	+
	5, 5938	0, 7585	-0, 2959	0, 1812	-0, 0691	0, 0532	-0, 0078
–	1, 0000	0, 5000	0, 2500	0, 1250	0, 0625	0, 0312	0, 0156

1.4. Метод простой итерации

Пусть уравнение можно заменить эквивалентным ему уравнением

. (2)

Выберем каким-либо образом начальное приближение . Вычислим значение функции при и найдем уточненное значение . Подставим теперь в уравнение (1) и получим новое приближение и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность приближений к корню:

. (3)

Формула (3) является расчетной формулой метода простой итерации.

Если последовательность сходится при , т. е. существует

(4)

и функция непрерывна, то, переходя к пределу в (3) и учитывая (4), получим: .

Таким образом, , следовательно, – корень уравнения (2).

Сходимость метода. Сходимость метода простой итерации устанавливает следующая теорема.

Теорема. Пусть функция определена и диффе­ренцируема на отрезке , причем все ее зна­чения . Тогда, если выполняется условие при :

1) процесс итерации сходится независимо от начального значения ;

2) предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке .

Доказательство. Так как и , то можно записать

.

По теореме о среднем (она утверждает, что если производная функции непрерывна на некотором интервале , то тангенс угла наклона хорды, проведенной между точками и , (т.е. равен производной функции в некоторой промежуточной точке, лежащей между и ) частное в последнем выражении будет равно , где – некоторая промежуточная точка в интервале поиска корня. Следовательно, .

Если ввести обозначение для всего интервала поиска, то предыдущее равенство может быть переписано в виде:

Аналогично . Тогда для будет справедливо неравенство: и т. д. Продолжая эти выкладки дальше, в результате получаем , где – натуральное число. Таким образом, чтобы метод сходился, необходимо выполнение неравенства: .

Отсюда следует, что должно быть меньше единицы. В свою очередь, для всех остальных значений меньших , можно записать: . Число определим из соотношения . Тогда справедливо неравенство (вывод см. ниже): . Если поставить условие, что истинное значение корня должно отличаться от приближенного значения на величину , т.е. , то приближения надо вычислять до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

или и тогда .

Вывод неравенства.Рассмотрим два последовательных приближения: и . Отсюда .

Используя теорему о среднем, получим:

,

тогда на основании условия можно записать:

.

С другой стороны, пусть . Очевидно, что . Отсюда, учитывая, что , получим

,

где .

Тогда или .

Используя предыдущую формулу, можно получить:

. (5)

Перейдём к пределу в равенстве (3), в силу непрерывности функции получим , то есть – корень уравнения (2). Других корней на нет, так как если , то , тогда , где . Равенство нулю будет достигнуто, если . То есть – корень единственный.

Теорема доказана.

Приведение уравнения к виду
для обеспечения выполнения неравенства

В общем случае получить подходящую итерационную форму возможно, проведя равносильное преобразование исходного уравнения, например, умножив его на коэффициент : . Прибавив затем к обеим частям уравнения и обозначив можно потребовать выполнения достаточного условия . Отсюда определяется необходимое значение . Так как условие должно выполняться на всем отрезке , то для выбора следует использовать наибольшее значение на этом отрезке, т.е.

. Это соотношение определяет диапазон значений коэффициента , изменяющий величину в пределах .

Обычно принимают .

На рис. 3–6 показаны четыре случая взаимного расположения линий и и соответствующие итерационные процессы. Рис. 3 и 4 соответствуют случаю , и итерационный процесс сходится. При этом, если (рис. 3), сходимость носит односторонний характер, а если (рис. 4), сходимость носит двусторонний, колебательный характер. Рис. 5 и 6 соответствуют случаю – итерационный процесс расходится. При этом может быть односторонняя (рис. 5) и двусторонняя (рис. 6) расходимость.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Погрешность метода. Оценка погрешности была доказана (5).

Критерий окончания. Из оценки (5) следует, что вычисления надо продолжать до выполнения неравенство . Если же , то оценка упрощается: .

Пример 1. Используем метод простой итерации для решения уравнения с точностью . Преобразуем уравнение к виду:

, т. е. .

Нетрудно убедиться, что корень уравнения находится на отрезке . Вычислив значения на концах отрезка, получим: , а , т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки,

поэтому внутри отрезка есть корень. Расположение корня наглядно иллюстрирует рис. 7.

Рис. 7

Подсчитаем первую и вторую производные функции :

.

Так как на отрезке , то производная монотонно возрастает на этом отрезке и принимает максимальное значение на правом конце отрезка, т. е. в точке . Поэтому справедлива оценка:

.

Таким образом, условие выполнено, и можно воспользоваться критерием окончания вычислений. В табл. 2 приведены приближения, полученные по расчетной формуле. В качестве начального приближения выбрано значение .

Таблица 2

		0, 8415	0, 8861	0, 8712	0, 8774	0, 8765

Критерий окончания выполняется при , . Сходимость двусторонняя, качественный характер такой сходимости представлен на рис. 4. Приближенное значение корня с требуемой точностью .

Пример 2. Решить методом простой итерации уравнение на отрезке с точностью 0, 025. Для решения исходное уравнение приводится к виду . Для выбора величины используем приведенную выше формулу . Тогда расчетная формула имеет вид . В качестве начального приближения можно выбрать верхнюю границу заданного отрезка .

		0, 8	0, 78

Так как , то .

1.5. Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений. Пусть корень , т. е. . Предполагаем, что функция непрерывна на отрезке и дважды непрерывно дифференцируема на интервале . Положим . Проведем касательную к графику функции в точке (рис. 8).

Рис. 8

Уравнение касательной будет иметь вид: .

Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью , т. е. положив : .

Аналогично поступим с точкой , затем с точкой и т. д., в результате получим последовательность приближений , причем

. (6)

Формула (6) является расчетной формулой метода Ньютона.

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого .

Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.

Теорема. Пусть – простой корень уравнения и в некоторой окрестности этого корня функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая – окрестность корня , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (6) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:

, (7)

где .

Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение.

Выбор начального приближения. Пусть – отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения выбрать тот из концов отрезка, для которого , то итерации (6) сходятся, причем монотонно. Рис. 8 соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был выбран правый конец отрезка: (Здесь ).

Погрешность метода. Оценка (7) неудобна для практического использования. На практике пользуются следующие оценки погрешности:

. (8)

Критерий окончания. Оценка (8) позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

.

Пример. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения с точностью до 0, 0001. Проведя отделение корня, можно убедиться, что корень локализован на интервале . В этом интервале и . Так как и , то за начальное приближение можно принять .

-11		-5183	0, 6662
-10, 3336	307, 3	4276, 8	0, 0718
-10, 2618	3, 496	4185, 9	0, 0008
-10, 261	0, 1477	-	-

. Поэтому .

1.6. Видоизменённый метод Ньютона

Если производная мало изменяется на отрезке , то в расчетной формуле метода можно положить: . Отсюда для корня уравнения получаем последовательные приближения

.

Геометрически этот способ означает, что касательные заменяются прямыми, параллельными касательной к кривой , в ее фиксированной точке . Этот способ избавляет от необходимости вычислять каждый раз значения производной, поэтому эта формула полезна, если сложна.

 

1.7. Метод хорд

Рассмотрим еще одну модификацию метода Ньютона. Пусть известно, что простой корень уравнения находится на отрезке , то есть . И предположим, что при (если это не так, то будем рассматривать уравнение ). Заменим кривую хордой .

А

у

 

х₂ х₁ b = x₀

а х^* x

 

 

	В

Рис. 9

y

B

 

а = х₀ х₁ х₂ b

х^* x

 

 

А

Рис. 10

 

Возможны два случая: 1) (рис. 9); 2) (рис. 10). В первом случае конец неподвижен и последовательные приближения:

(9)

образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем .

Во втором случае неподвижен конец , а последовательные приближения:

(10)

образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем Итак, в результате получаем следующее

Выбор начального условия:

1. Рассматриваем только случай (иначе ).

2. Начальное приближение x₀ выбираем из условия

Неподвижен тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода хорд такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство .

Пример. Найти положительный корень уравнения с точностью . Отделим корень. Так как , , то . Разделим интервал пополам: , тогда .

Найдём производные: , . Исходя из того, что , то и пользуемся формулой (10): , .

, , .

Так как , то .

 

1.8. Комбинированный метод

Пусть , а и сохраняют постоянные знаки на отрезке . Соединяя методы хорд и касательных, получаем метод на каждом этапе, которого находим значения по недостатку и значения по избытку точного корня уравнения . Пусть – последовательные приближения метода хорд, – последовательные приближения метода касательных. Пошаговая иллюстрация представлена на рис. 11.

Возможны 4 случая: 1) , 2) ,

3) , 4) ,

которые можно свести к первому случаю.

y

 

x₀=а х₁ х₂

x^* х

 

 

Рис. 11

.

. .

Очевидно, что и .

По окончании процесса за значение корня лучше всего взять среднее арифметическое полученных значений: .

Пример. Вычислить положительный корень уравнения . Так как , то .

, на , поэтому .

.

.

; .

Так как , то

; .

Так как , то .