Тема 11. Функции нескольких переменных

Задача 25. Исследовать на экстремум функцию

Решение: Чтобы исследовать данную дважды дифференцируемую функцию z = f(x, у) на экстремум, необходимо:

1. Найти частные производные первого порядка и приравнять их к нулю и решить систему уравнений

Каждая пара действительных корней этой системы определяет одну стационарную точку исследуемой функции. Пусть одна из этих точек.

2. Найти частные производные второго порядка

и вычислить их значения в каждой стационарной точке.

Положим, что

3. Составить и вычислить определитель второго порядка .

4. Если в исследуемой стационарной точке то функция z = f(x, у) в этой точке имеет максимум при А< 0 и минимум при А> 0; если то в исследуемой точке нет экстремума.

Если , то вопрос об экстремуме требует дополнительного исследования.

Находим стационарные точки заданной функции:

.

Решение системы дает .

Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную точку .

Находим частные производные второго порядка и их значения в найденной стационарной точке:

.

Как видно, частные производные второго порядка не содержат х и y, они постоянны в любой точке и, в частности, в точке . Имеем А = —2; В= — 1; С= —2.

.

Так как и А< 0, то в точке данная функция имеет максимум: .

Задача 26. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке , если .

Решение: Определим аппликату z₀ точки касания, для этого подставляем значения в данное уравнение поверхности:

Таким образом, – точка касания. Уравнение касательной плоскости, проведенной к поверхности F(x, y, z) = 0 в точке , имеет вид:

. (1)

Нормаль проходит через точку касания и перпендикулярна касательной плоскости. Уравнения нормали имеют вид:

. (2)

Находим частные производные и вычисляем их значения в точке касания :

Подставив в (1) найденные значения частных производных и координаты точки касания, получаем:

или после упрощения

— уравнение касательной плоскости.

Из (2) имеем

или — искомые уравнения нормали.

Задача 27. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями координат и прямой (рис. 11).

Решение: Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области, необходимо: 1) найти стационарные точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках; исследовать на экстремум эти точки не следует; 2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; если граница состоит из нескольких линий, то исследование проводится для каждого участка в отдельности; 3) сравнить полученные значения функции и установить наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области.

Находим стационарные точки, лежащие внутри заданной области:

Приравняв нулю частные производные и решив полученную систему находим стационарную точку . Эта точка принадлежит заданной области. Вычислим значение функции в этой точке:

Граница области состоит из отрезка ОА оси Ох, отрезка ОВ оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значения функции z на каждом из этих трех участков. На отрезке ОА у = 0, а Если у = 0, то Находим наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [0, 4]:

Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, т. е. в точках 0(0; 0) и А(4; 0):

На отрезке ОВ х = 0 и . Если х = 0, то z(y) = 2у² —8у+ +5. Находим наибольшее и наименьшее значения функции z от переменной у на отрезке [0; 4]:

В точке 0(0; 0) значение функции уже было найдено. Вычислим значение функции в точке В:

Теперь исследуем отрезок АВ. Уравнением прямой АВ будет Подставив это выражение для y в заданную функцию z, получим

Определим наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [0; 4]:

P₃ — стационарная точка на отрезке АВ. Вычислим значение функции в этой точке:

Значения функции на концах отрезка АВ найдены ранее.

Сравнивая полученные значения функции z в стационарной точке P₀ заданной области, в стационарных точках на границах области Р₁, Р₂, Р₃ и в точках О, А и В, заключаем, что наибольшее значение в заданной замкнутой области функция z имеет в точке А, наименьшее значение — в точке Ро(1; 2). Итак,