![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Тема 6 Производная и дифференциал
Задача 13. Найти производные а) г)
Решение: При нахождении производных функций используем правила дифференцирования и таблицу основных элементарных функций. Правила дифференцирования: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Таблица производных основных элементарных функций:
а) Пользуясь правилом логарифмирования, корня и дроби, преобразуем правую часть: Применяя правила и формулы дифференцирования, получим: б) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства: Теперь дифференцируем обе части, считая откуда в) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную у', следует дифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, азатем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем Из полученного равенства, связывающего х, у и откуда г) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти искомую производную у', находим предварительно дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов д) воспользуемся правилом дифференцирования частного, получаем: е) Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.
Задача 14. Найти производную второго порядка а) Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:
Снова дифференцируем по х обе части (1):
Заменив у' в (2) правой частью (1), получим б) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную у', находим сначала дифференциалы dy и dx, а затем берем их отношение: Тогда Производная второго порядка Тогда Задача 15. Найти приближенное значение функции
Решение: Известно, что дифференциал dy функции y=f(x) представляет собой главную часть приращения этой функции Пусть Тогда
Приближенное равенство (1) дает возможность найти значение функции при х=х2, если известно значение функции и ее производной при х = х1. Прежде чем воспользоваться приближенным равенством (1), находим числовое значение производной у' при х = 6:
Применяя (1), получим Задача 16. Найти приближенное значение величины tg 47°. Решение: Применяем формулу (1) задачи 15. Рассмотрим функцию Задача 17. Дана парабола Требуется: 1) найти точки пересечения параболы с окружностью; 2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках ее пересечения с окружностью; 3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках их пересечения. Решение: 1) Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид: Чтобы найти точки пересечения данных кривых, решаем совместно систему: В результате находим, что парабола и окружность пересекаются в двух точках: А(–8; –6) и В(8; –6) (рис. 7). 2) Известно, что угловой коэффициент касательной к кривой у=f(x) в точке Для определения угловых коэффициентов касательных к параболе в точках А и В находим производную у':
Уравнение касательной к кривой
Подставив в (1) координаты точки А и значение углового коэффициента Подставив в (1) координаты точки В и Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Уравнение нормали к кривой у = f(x) в точке
Подставив в (2) координаты точки А и kA = 2, находим уравнение нормали в точке А: х+2у+20 = 0. Аналогично находим уравнение нормали в точке В: х – 2у – 20 = 0. 3) Направление кривой в каждой ее точке определяется направлением касательной к ней в этой точке. Под углом между двумя кривыми в точке их пересечения понимается угол между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке пересечения. Так как заданные кривые являются симметричными относительно оси ординат, то острые углы, образуемые данными кривыми в точках их пересечения, будут равны между собой. Поэтому достаточно найти угол между касательными к параболе и к окружности только в одной точке, например в точке А. Определим угловой коэффициент Из аналитической геометрии известно, что угол
Положив в (3) Таким образом, острый угол
|