Тема 3. Элементы аналитической геометрии в пространстве

Задача 6. Даны координаты четырех точек: А (0; -2; -1), B(2; 4; -2), С(3; 2; 0) и М(-11; 8; 10). Требуется: 1) составить уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В и С; 2) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q; 3) найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, xOz и yOz; 4) найти расстояние от точки М до плоскости Q.

Решение: 1) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки имеет вид

(1)

Подставив в (1) координаты точек А, В и С, получим:

Разложим определитель по элементам первой строки:

Сократив на 5, получим уравнение искомой плоскости Q:

(2)

2. Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид

(3)

где — координаты точки, через которую проходит прямая (3), а m, n и р — направляющие коэффициенты этой прямой. По условию прямая проходит через точку М(-11; 8; 10) и перпендикулярна плоскости Q. Следовательно, подставив в (3) координаты точки М и заменив числа m, n и р соответственно числами 2; –1; –2 [коэффициенты общего уравнения плоскости (2)], получим

(4)

3. Чтобы найти точки пересечения прямой (4) с плоскостью (2), запишем сначала уравнения прямой (4) в параметрическом виде. Пусть

где t — некоторый параметр. Тогда уравнения прямой можно записать так:

(5)

Подставляя (5) в (2), получим значение параметра t:

Подставив в (5) t=6, находим координаты точки Р пересечения прямой (4) с плоскостью (2):

тогда

Пусть p₁ — точка пересечения прямой (4) с координатной плоскостью хОу; уравнение этой плоскости z = 0. При z = 0 из (5) получаем

.

Пусть Р₂ — точка пересечения прямой (4) с плоскостью xOz; уравнение этой плоскости у=0. При у=0 из (5) получаем

Пусть р_з — точка пересечения прямой (4) с плоскостью yOz.

Уравнение этой плоскости х = 0. При х = 0 из (5) получаем

4. Так как точка М лежит на прямой (4), которая перпендикулярна плоскости Q и пересекается с ней в точке Р, то для нахождения расстояния от точки М до плоскости Q достаточно найти расстояние между точками М и Р:

Задача 7. Даны координаты трех точек: А (-5; 2; -2), В (-1; 4; -6), С (-4; 1; -6).

Требуется найти: 1) канонические уравнения прямой АВ; 2) уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ; 3) расстояние от точки С до прямой АВ.

Решение: 1. Уравнения прямой, проходящей через двe данные точки имеют вид

(1)

Подставив в (1) координаты точек А и В, получим

2.Запишем уравнение плоскости в общем виде Если плоскость проходит через точку , то уравнение пучка плоскостей имеет вид

Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой АВ, то А: В: С = 2: 1: (-2). Заменив коэффициенты А, В и С в уравнении пучка плоскостей соответственно числами 2, 1, -2 и подставляя координаты точки С (-4; 1; -6), получим

(θ)

Определим координаты точки пересечения плоскости (θ) с прямой АВ. Для этого решим систему трех уравнений

Решая эту систему, находим х = –3, у = 3, z = –4. Следовательно, плоскость и прямая пересекаются в точке Р (-3; 3; -4).

3. Чтобы найти расстояние от точки С до прямой АВ, достаточно найти расстояние от точки С (–4; 1; –6) до точки пересечения Р (-3; 3; -4) (так как прямая АВ перпендикулярна плоскости θ).

Имеем