Тема 4. Элементы линейной алгебры

Задача 8. Решить систему линейных уравнений:

а)методом Гаусса; б) с помощью определителей; в) с помощью обратной матрицы.

Решение. а) Исключим из последних двух уравнений х₁. Для этого умножим первое уравнение на (–5) и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на (–3) и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему, эквивалентную данной:

Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2, получим систему

Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) переменную х₂. Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на (-7) и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему

Откуда x₃ = 3, х₂ = 1 и х₁ = -2. Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, т. е. матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид

.

Умножим элементы первой строки матрицы на (–5) и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на (–3) и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Разделив элементы второй строки на 2, получим

Элементы второй строки умножим на (–7) и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу,

которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее.

б) Составим и вычислим следующие определители системы.

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных:

Аналогично вычисляем , полученный из заменой первого столбца столбцом свободных коэффициентов: , и .

Тогда решения системы найдём по формулам: , , .

в) Введём обозначения: , и . Тогда систему уравнений можно представить в виде матричного уравнения , которое решим по формуле: . Найдём по следующему алгоритму.

1) .

2) вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы по формуле: , где - определитель, полученный из путём вычёркивания -ой строки и -го столбца.

. Аналогично вычисляем все остальные алгебраические дополнения.

, , , , , , , .

3) Из найденных дополнений составим матрицу: , получаем .

4) Обратную матрицу получаем по формуле: , т.е. .

5) Выполним проверку, покажем, что , где - единичная матрица.

.

Теперь найдём решение матричного уравнения . Тогда решение системы: .

Задача 9. Решить методом Гаусса систему уравнений

Решение: Составим расширенную матрицу системы:

Умножив элементы первой строки последовательно на –2, –4 и –5. Полученные результаты прибавим соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу

Элементы второй строки умножим на 6 и результаты прибавим к элементам третьей строки, затем элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу

Элементы третьей строки разделим на –2 и затем элементы четвертой строки прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Теперь элементы третьей строки умножим на 13 и результаты прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу

Следовательно, данную систему можно записать так:

Откуда х₄ = 0, х₃ = 2, х₂ = -1 и х₁= 3.