Примеры решения задач. Задача 1.Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 3), В(16;-6), С(20; 16)

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 3), В(16; -6), С(20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение медианы AE и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.

Решение:

1. Расстояние d между точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) определяется по формуле

(1)

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

2. Уравнение прямой, проходящей через точки A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) имеет вид

(2)

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:

Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

откуда

Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:

или

откуда

3. Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны и вычисляется по формуле

(3)

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: Применяя (3), получим

или рад.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид

(4)

Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как то Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим

Чтобы найти длину высоты CD, определим сначала координаты точки D— точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:

находим т.е. D(8; 0).

По формуле (1) находим длину высоты CD:

5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:

(5)

Следовательно,

Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:

Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений

Находим .

6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент получим

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:

Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1.

Задача 2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(4; 0) и до данной прямой х=1 равно 2.

Решение:

В системе координат хОу построим точку А(4; 0) и прямую х = 1. Пусть М(х; у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую x = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1; у) (рис. 2).

По условию задачи |МА|: |МВ| = 2. Расстояния |МА| и |MB| находим по формуле (1) задачи 1:

Возведя в квадрат левую и правую части, получим

или

Полученное уравнение представляет собой гипербо­лу, у которой действительная полуось а = 2, а мнимая –

Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство Следовательно, и – фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка А(4; 0) является правым фокусом гиперболы.

Определим эксцентриситет полученной гиперболы:

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид и . Следовательно, или и – асимптоты гиперболы. Прежде чем построить гиперболу, строим ее асимптоты.

Задача 3. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А(4; 3) и прямой у = 1. Полученное уравнение привести к простейшему виду.

Решение: Пусть М(х; у) — одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из точки М перпендикуляр MB на данную прямую у = 1 (рис. 3). Определим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна 1, т. е. В(х; 1). По условию задачи |МА|=|МВ|. Следовательно, для любой точки М(х; у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:

или

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке Чтобы уравнение параболы привести к простейшему виду, положим и y + 2 = Y тогда уравнение параболы принимает вид:

Чтобы построить найденную кривую, перенесем начало координат в точку О'(4; 2), построим новую систему координат оси которой соответственно параллельны осям Ox и Oy и затем в этой новой системе построим параболу (*) (рис. 3).

Задача 4. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, если она проходит через точки A(-8; 12) и B(12; 8 ). Найти все точки пересечения этой гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы.

Решение: Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

(1)

По условию точки А и В лежат на гиперболе. Следовательно, координаты этих точек удовлетворяют уравнению (1). Подставив в уравнение (1) вместо текущих координат х и у координаты точек А и В, получим систему двух уравнений относительно неизвестных а и b:

Решая систему, получаем: Таким образом, уравнение искомой гиперболы Определим фокусы этой гиперболы. Имеем тогда .

Уравнение окружности, проходящей через начало координат, имеет вид x² + y² = R²

где R— радиус окружности. Так как по условию окружность проходит через фокусы гиперболы, то R = с = 8. Следовательно, x² + y² = 64 — уравнение окружности. Чтобы найти точки пересечения гиперболы с окружностью, решим систему уравнений

В результате получим 4 точки пересечения: (рис. 4).