![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Примеры решения задач. Задача 1.Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 3), В(16;-6), С(20; 16)
Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 3), В(16; -6), С(20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение медианы AE и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD. Решение: 1. Расстояние d между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) определяется по формуле
Применяя (1), находим длину стороны АВ: 2. Уравнение прямой, проходящей через точки A(x1, y1) и B(x2, y2) имеет вид
Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:
Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:
откуда 3. Известно, что тангенс угла
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены:
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид
Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как
Чтобы найти длину высоты CD, определим сначала координаты точки D— точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:
По формуле (1) находим длину высоты CD: 5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:
Следовательно, Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:
Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений
6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент 3x + 4y – 49 = 0 (KF) 7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М: Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1. Задача 2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(4; 0) и до данной прямой х=1 равно 2. Решение: В системе координат хОу построим точку А(4; 0) и прямую х = 1. Пусть М(х; у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую x = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1; у) (рис. 2). По условию задачи |МА|: |МВ| = 2. Расстояния |МА| и |MB| находим по формуле (1) задачи 1: Возведя в квадрат левую и правую части, получим
Полученное уравнение представляет собой гиперболу, у которой действительная полуось а = 2, а мнимая – Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство Определим эксцентриситет полученной гиперболы: Уравнения асимптот гиперболы имеют вид Задача 3. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А(4; 3) и прямой у = 1. Полученное уравнение привести к простейшему виду. Решение: Пусть М(х; у) — одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из точки М перпендикуляр MB на данную прямую у = 1 (рис. 3). Определим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна 1, т. е. В(х; 1). По условию задачи |МА|=|МВ|. Следовательно, для любой точки М(х; у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке Чтобы построить найденную кривую, перенесем начало координат в точку О'(4; 2), построим новую систему координат
Задача 4. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, если она проходит через точки A(-8; 12) и B(12; 8 Решение: Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
По условию точки А и В лежат на гиперболе. Следовательно, координаты этих точек удовлетворяют уравнению (1). Подставив в уравнение (1) вместо текущих координат х и у координаты точек А и В, получим систему двух уравнений относительно неизвестных а и b:
Решая систему, получаем: Уравнение окружности, проходящей через начало координат, имеет вид x2 + y2 = R2
В результате получим 4 точки пересечения:
|