Тема 13. Ряды и их приложения.

Задача 29. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение: Данный степенной ряд можно записать так:

Применяем признак Даламбера:

Ряд будет сходиться для тех значений х, для которых .

Определим сходимость на концах интервала. При х= –2/3 ряд примет вид:

Этот ряд является знакочередующимся; его общий член по абсолютному значению стремится к нулю при . По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что этот ряд сходится. Следовательно, значение х = - 2/3 принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив х = 2/3, получим

Этот ряд расходится, так как каждый член этого ряда начиная со второго больше соответствующего члена гармонического ряда. Следовательно, значение х = 2/3 не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, – область сходимости исследуемого ряда.

Задача 30. Вычислить интеграл с точностью до 0, 001.

Решение: Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд Маклорена функции sinx, имеем:

, тогда

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0, 001, то ограничиваемся только первыми тремя членами.

Задача 31. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в степенной ряд Маклорена функции у(х), являющейся частным решением дифференциального уравнения если у(0)=1.

Решение: Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем:

(1)

Свободный член разложения (1), то есть у(0), дан по условию. Чтобы найти значения нужно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислять значения производных при х = 0.

Значение получаем, подставив начальное условие в дифференциальное уравнение

Подставив найденные значения производных при х = 0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

Ответ: