Прямоугольников, трапеций, парабол

Пусть требуется найти определенный интеграл

, (1.1)

где функция непрерывна на отрезке . Выразить интеграл через элементарные функции удается редко. Поэтому обычно функцию заменяют на такую функцию , чтобы интеграл от нее легко вычислялся в элементарных функциях. Чаще всего функцию заменяют некоторым многочленом

, (1.2)

где - остаточный член аппроксимации. Подставляя (1.2) в (1.1), получим формулу численного интегрирования (квадратурную формулу)

,

где величины называют узлами, - весами, а - погрешностью или остаточным членом формулы.

Рассмотрим более подробно применение для этой цели интерполяционного многочлена Лагранжа. Заменяя функцию полиномом , получим равенство

, (1.3)

где - ошибка квадратурной формулы (1.3). Отсюда, используя выражение для многочлена Лагранжа, получим приближенную формулу:

(1.4)

где . Выберем равномерное разбиение отрезка и положим. Выведем явные выражения для коэффициентов . Положим тогда

, .

Следовательно, многочлен Лагранжа можно представить в виде

Поэтому, для коэффициентов получаем следующее выражение:

.

Введем следующее обозначение

.

Эти постоянные называются коэффициентами Котеса. Формула (1.4) принимает вид:

. (1.5)

Рассмотрим некоторые частные случаи полученной формулы.

Формула трапеций. Пусть . Тогда

.

Отсюда

.

Предположим, что и найдем погрешность полученной формулы трапеций. Будем рассматривать остаточный член как функцию от . Имеем

Отсюда, дифференцируя эту формулу по последовательно два раза, получим:

Учитывая, что , интегрируя по и используя теорему о среднем, получим

Рассмотрим теперь общую формулу трапеций. Промежуток интегрирования разделим на равных частей

и к каждому из них применим формулу трапеций. Полагая и обозначая , получим

Геометрически данная формула получается заменой графика подынтегральной функции ломаной линией. Остаточный член полученной квадратурной формулы можно представить в виде:

.

Среднее арифметическое заключено между наибольшим и наименьшим значениями функции . Так как эта функция непрерывна, то она принимает все свои промежуточные значения. Следовательно, существует число такое, что . Таким образом,

.

Формула Симпсона. Рассмотрим теперь следующий частный случай формулы (1.5). Пусть . Тогда

,

.

Так как , то

.

Полученная формула называется формулой Симпсона (формула парабол). Геометрически эта формула получается заменой данной кривой параболой . Аналогично формуле трапеций, но, дифференцируя три раза, можно получить остаточный член формулы Симпсона:

.

Рассмотрим общую формулу Симпсона. Пусть и . Применяя формулу Симпсона к каждому из промежутков длины , получим

где . Остаточный член полученной формулы имеет вид:

,

где .

Формула прямоугольников. Пусть и , где произвольная точка. Тогда и . Если , то полученная приближенная формула называется формулой левых прямоугольников, если , то она носит название формулы правых прямоугольников, а, если , то средних прямоугольников. Пусть , тогда остаточный член данной формулы можно представить в виде:

Пусть , тогда первое слагаемое равно нулю. Следовательно, если , для всех , то получим

.

Рассмотрим общую формулу прямоугольников. Пусть . Применяя к каждому из отрезков формулу прямоугольников, получим

.

Для остаточного члена получим следующую оценку:

.