Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Полиномиальная интерполяция.
|
|
Чаще всего интерполирующую функцию φ (x) находят в виде алгебраического многочлена. Такой способ приближения имеет в своей основе гипотезу, что на небольших отрезках изменения х функция f(x) может быть достаточно хорошо приближена с помощью параболы некоторого порядка, аналитическим выражением которой и будет алгебраический многочлен. Это обусловлено как большей простотой вычисления полиномов по сравнению с другими классами интерполирующих функций, так и более развитым математическим аппаратом.
Задача полиномиальной интерполяции состоит в следующем: для данной функции y=f(x) строим многочлен
j(x)=х0 +a1x + a2x2 +... + amxmn. (1)
принимающий в заданных точках xi те же значения yi, что и функция f(x), т.е.
j(xi) = yi, i = 0, 1, …, n. (2)
При этом предполагается, что среди значений x i нет одинаковых, т. е. xi ¹ xk при i¹ k. Точки xi называются узлами интерполяции, а многочлен j(х)- интерполяционным многочленом.
Таким образом, близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают па заданной системе точек (рис. 1).
Рис. 1
Максимальная степень интерполяционного многочлена m=n; в этом случае говорят о глобальной интерполяции поскольку один многочлен
j(x)= a0 + a1х +... + аnхn (3)
используется для интерполяции функции f(х) на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента х. Коэффициенты aj многочлена (3) находятся из системы уравнений (2). Можно показать, что при xi ¹ xk (i¹ k) эта система имеет единственное решение.
Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения х. В этом случае имеем кусочную интерполяцию.
Как правило, интерполяционные многочлены используются для аппроксимации функции в промежуточных точках между крайними узлами интерполяции, т. е. при x0< х< xn. Однако иногда они используются и для приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка (х < x0, х> xn). Это приближение называют экстраполяцией.