Конечные разности.

Пусть где - целое, . Величина называется конечной разностью первого порядка функции в точке (с шагом ).

Величина

называется конечной разностью второго порядка функции в точке .

Вообще, конечная разность n-го порядка функции в точке означается рекуррентным соотношением

где . (6)

При вычислениях конечные разности удобно записывать в виде таблицы.

Таблица 1.

Рассмотрим некоторые свойства конечных разностей.

Одно из практических применений конечных разностей состоит в следующем. Если , то величина вычисляется через табличные значения функции с помощью формулы (6), и равняется значению производной в некоторой точке , где

Поэтому, если маленькое, то число можно приближенно принять за величину и использовать в оценке погрешности интерполяции с равноотстоящими узлами. Такой нестрогой оценкой погрешности пользуются, если достаточно сложное вычисление производной , или, вообще, имеем в распоряжении только табличные значения n+1 раз дифференцированной функции.