Разделенные разности.

Пусть теперь -произвольные точки (узлы) оси , причем при .

Значение функции в узлах называются разделенными разностями нулевого порядка.

Число называется разделенной разностью первого порядка функции (соответственно точкам ).

Очевидно, что, разделенная разность первого порядка является симметричной функцией аргументов и .

Разделенная разность -го порядка определяется через разделенные разности -го порядка по рекуррентной формуле

При вычислениях разделенные разности записывают в виде таблицы.

Таблица 2.

Разделенная разность -го порядка может быть представлена через узловые значения функции формулой то есть симметричной функцией своих аргументов.

Значение разделенной разности не зависит от порядка нумерации узлов, по которыми она строится. Всего имеем вариантов нумерации узлов целыми числами от 0 к .

Если то есть узлы размещаются на оси с постоянным шагом то между разделенной разностью -го порядка и конечной разностью -го порядка существует следующая связь: .

Пусть - минимальный отрезок, который содержит узлы . Тогда существует такая точка что .

Конечные и разделенные разности, в частности, используются для построения интерполяционных многочленов.