Меры приближения апроксимации.

При интерполировании основным услови­ем является прохождение графика интерполяционного многочлена через данные значения функции в узлах ин­терполяции, Однако в ряде случаев выполнение этого условия затруднительно или даже нецелесообразно.

Например, при большом количестве узлов интерполя­ции получается высокая степень многочлена в слу­чае глобальной интерполяции, т. е. когда нужно иметь один интерполяционный многочлен для всего интервала изменения аргумента. Кроме того, табличные данные могли быть получены путем измерений и содержать ошибки. Построение аппроксимирующего многочлена с условием обязательного прохождения его графика через эти экспериментальные точки означало бы тщательное повторение допущенных при измерениях ошибок. Выход из этого положения может быть найден выбором такого многочлена, график которого проходит близко от данных точек (рис. 2). Понятие «близко» уточняется при рассмотрении разных видов прибли­жения.

Одним из таких видов является среднеквадратичное приближение функции с помощью многочлена (1). При этом m≤ n; случай m=n соответствует интерполя­ции. На практике стараются подобрать аппроксимирую­щий многочлен как можно меньшей степени (как прави­ло, m = 1, 2, 3).

Мерой отклонения многочлена j(x) от заданной функции f(x) на множестве точек (x_i, y_i,) (i = 0, 1,..., n) при среднеквадратичном приближении является величина S, равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и функции в данных точках:

(2.4)

Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты а₀, a₁..., а_m так, чтобы вели­чина S была наименьшей. В этом состоит метод наимень­ших квадратов.

Равномерное приближение. Во многих случаях, особенно при обработке экспериментальных данных, среднеквадратичное приближение вполне приемлемо, по­скольку оно сглаживает некоторые неточности функции f(x) и дает достаточно правильное представление о ней. Иногда, однако, при построении приближения ставится более жесткое условие: требуется, чтобы во всех точках некоторого отрезка [а, b] отклонение многочлена j(x) от функции f(x) было по абсолютной величине меньшим заданной величины ε > 0:

|f(х) — j(x)| < ε, а ≤ х ≤ b.

В этом случае говорят, что многочлен j(х) равномерно аппроксимирует функцию f(x) с точностью ε на отрез­ке [а, b].

Введем понятие абсолютного отклонения ∆ многочле­на j(x) от функции f (х) на отрезке [а, b]. Оно равно максимальному значению абсолютной величины разности между ними на данном отрезке:

(2.5)

По аналогии можно ввести понятие среднеквадратич­ного отклонения при среднеквадратичном при­ближении функций. На рис. 3 показано принципиальное различие двух рассматриваемых приближений.

Возможность построения многочлена, равномерно при­ближающего данную функцию, следует из теоремы Вейерштрасса об аппроксимации:

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на от­резке [а, b], то для любого ε > 0 существует многочлен j(x) степени m=m( ε ), абсолютное отклонение которого от функции f(x) на отрезке [а, b] меньше ε.

В частности, если функция f(x) на отрезке [a, b] разлагается в равномерно сходящийся степенной ряд, то в качестве аппроксимирующего многочлена можно взять частичную сумму этого ряда. Такой подход широ­ко используется, например, при вычислении на ЭВМ зна­чений элементарных функций.

(a) (б)

Рис. 3. Приближения: а — среднеквадратичное; б — равномерное

Существует также понятие наилучшего приближения функции f(х) многочленом j(x) фиксированной степени m. В этом случае коэффициенты многочлена j(х) = а₀ + а₁х +...+ а_mх^m следует выбрать так, чтобы на за­данном отрезке [а, b] величина абсолютного отклонения была минимальной. Многочлен j(х) называется многочленом наилучшего равномерного приближения. Существование и единственность многочлена наилучше­го равномерного приближения вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Для любой функции f(a), непрерывной на замкнутом ограниченном множестве G, и любого на­турального m существует многочлен j(х) степени не выше m, абсолютное отклонение которого от функции f(x) минимально, т. е. ∆ =∆ _min, причем такой многочлен единственный.

Множество G обычно представляет собой либо неко­торый отрезок [а, b], либо конечную совокупность точек x₀+x₁…, x_n

Пример. Аппроксимация полиномом четвертой степени.

Список литературы

1. Пескунов Н. Численные методы. – М.: Мир, 1993.

2. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие.– М.: Наука. Гл. ред. физ.мат.лит., 1987.–320 с.

3. “Численные методы”, Е.А. Волков, М.: “Наука”, 1982 г. – 254 с.

4. Григоренко Я.М., Панкратова Н. Д. Обчислювальні методи в задачах прикладної математики: Навч. посібник. – К.: Либідь, 1995. –280 с.

5. Абрамов С. А. и др. Задачи по программированию – М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1988.

6. Вьюкова Н. И. и др. Систематический подход к программированию. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

7. Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ.- Киев: Наук. дум-ка, 1986.

8. Шаньгин В. Ф. Программное обеспечение микро ЭВМ.- М.: Высш. шк., 1987.