Складні проценти та ануїтети

Складний процент – це процент, який нараховується на суму, що складається з суми вкладу (депозиту) та невитре­бу­ваних процентів, після закінчення кожного кварталу чи іншого строку, визначеного в договорі банківського вкладу (депозиту).

Простий процент– це процент, що нараховується банком вкладнику на суму початкового вкладу (депозиту).

Ануїтет – ряд послідовних платежів, які характеризуються такими ознаками: однакова сума кожного періоду часу за який нараховуються проценти; однакові періоди часу, за які нараховуються проценти; однакова ставка процентів за кожний період.

Поточна вартість ануїтету – це вартість на сьогодні загальної суми серії платежів, які будуть надходити протягом визначеного періоду часу у майбутньому.

Майбутня вартість ануїтету – включає складний процент, який нарахований на суму кожного платежу за період із дати платежу до кінця строку ануїтету.

Найбільш поширені приклади ануїтетів:

· здійснення орендних платежів;

· схеми погашення довгострокового кредиту;

· регулярні внески в пенсійний чи інші страхові фонди накопичення;

· виплата відсотків по облігаціям;

· виплата дивідендів, тощо.

Ануїтети різняться між собою такими характеристиками:

· розміром кожного окремого платежу;

· інтервалом часу між двома послідовними платежами (періодами ануїтету);

· процентною ставкою, що використовується при надходженні чи дисконтуванні платежів.

Першою характеристикою ануїтету, яка багато в чому визначає його інші характеристики, зокрема ризики, є природа платника ануїтету.

Наприклад, можна виділити:

· Страхові (виплачує страхова компанія).

· Пенсійні (сплачуватися пенсійними фондами).

· Фінансові (платяться банками та іншими фінансовими організаціями).

· Виплачувані іншими юридичними особами.

· Виплачуються приватними особами (зазвичай погашення кредитів і оплата покупок в розстрочку).

Природною є класифікація ануїтетів за ознакою терміновості:

· Термінові ануїтети, тобто фіксоване число платежів.

· Термінові ануїтети з можливістю дострокового припинення, наприклад, кредити з можливістю дострокового погашення.

· Безстрокові ануїтети - пенсії, що виплачуються до смерті пенсіонера.

В особливу групу потрібно виділити ануїтети, у яких не тільки кількість платежів не є фіксованою, але, також і час початку здійснення платежів. Прикладом такого ануїтету є пенсія по інвалідності.

За частотою платежів можна виділити щорічні, щомісячні, щоквартальні і т.д. ануїтети. Первісною формою ануїтетів були щорічні, а в даний час найбільш поширені щомісячні.

За величиною платежів і схильності інфляції можна виділити наступні різновиди:

· Фіксовані ануїтети, тобто всі платежі однакові.

· Валютні ануїтети, в яких для захисту від інфляції виплати прив’язані до однієї іноземної валюти.

· Індексовані, тобто величина платежів прив’язується до індексу інфляції.

· Змінні, для яких величина виплат прив’язується до індексу прибутковості фінансових інструментів.

Види ануїтетів та їх розрахунки (рис. 1).

Рис. 1. Види ануїтетів

Під терміновим ануїтетом розуміється грошовий потік з надходженнями протягом обмеженого часу (терміновий грошовий потік) з рівними за величиною надходженнями коштів через рівні проміжки часу. За моментом надходження грошових коштів розрізняють термінові ануїтети пренумерандо і постнумерандо:

1) ануїтет постнумерандо (або звичайний ануїтет), коли виплата здійснюється в кінці першого періоду;

2) ануїтет пренумерандо, якщо виплата здійснюється на початку першого періоду.

Фінансові розрахунки за платежами постнумерандо застосовують у більшості лізингових угод, схемах споживчого кредитування, купонних виплатах за облігаціями, практиці оцінки нерухомості тощо. Можна стверджувати, що саме такий вид фінансових рент є найбільш розповсюдженим у практиці фінансово-кредитних операцій.

Терміновий ануїтет постнумерандо можна розрахувати як за схемою нарощення, так і за схемою дисконтування.

Формула оцінки термінового ануїтету постнумерандо за схемою нарощення має наступний вигляд:

_pst = PV (1 + r)^{n - 1} + PV (1 + r)^{n - 2} +... + PV (1 + r) + PV

Терміновий ануїтет пренумерандо також можна розрахувати як за схемою нарощення, так і за схемою дисконтування.

Формула оцінки термінового ануїтету пренумерандо за схемою нарощення має наступний вигляд:

_pre = FV_pst (l + r) = PV [(1 + r)^{n - 1}] (1 + r) / r.

Формула оцінки термінового ануїтету пренумерандо за схемою дисконтування має наступний вигляд:

_pre = PV_pst (l + r) = FV [1 - (1 + r) - n] (1 + r) / r.

Під безстроковим ануїтетом (вічна рента) розуміється грошовий потік з рівними за величиною надходженнями грошових коштів протягом тривалого терміну через рівні інтервали часу. Прикладом безстрокового ануїтету є консолі (консолідована рента) - довгострокові державні облігації з терміном обігу, що перевищує 30 років.

У разі безстрокового ануїтету потік рівних платежів через рівні інтервали протягом тривалого періоду часу розглядається як нескінченний. При цьому мається на увазі, що в рамках обраного інтервалу здійснюється тільки один платіж. У цьому зв'язку безстроковий ануїтет математично можна представити як нескінченність (n > ∞) або як нескінченно спадаючу геометричну прогресію.

Безстроковий ануїтет (як різновид грошового потоку) можна класифікувати по моменту надходжень до вибраному інтервалі часу на потоки пренумерандо і постнумерандо. Однак, на відміну від інших грошових потоків, які можна розраховувати як за схемою нарощення, так і дисконтування, оцінка безстрокового ануїтету способом нарощення не має сенсу, так як потік прямує до нескінченності і не можна визначити. Тому єдиним способом залишається зворотний спосіб (метод дисконтування).

При цьому спочатку розраховується приведена вартість безстрокового ануїтету постнумерандо, а потім з його допомогою приведена вартість безстрокового ануїтету пренумерандо.

Формула оцінки безстрокового ануїтету постнумерандо за схемою дисконтування має наступний вигляд: _pst = A / r,

де А - одне грошове надходження за вибраний часовий інтервал.

Дана формула показує, що наведену вартість можна розрахувати навіть для грошового потоку з необмеженою кількістю платежів. Так, при терміні ануїтету, що перевищує 50 років, і процентною ставкою, що дорівнює 10 %, різниця між значеннями коефіцієнтів дисконтування незначна. Чим вище значення процентної ставки, тим менше термін, при перевищенні якого різниця між значеннями коефіцієнта дисконтування стає несуттєвою.

Формула оцінки безстрокового ануїтету пренумерандо за схемою дисконтування має наступний вигляд: _pre = PV_prs + A

де PV_pre - потік пренумерандо; _prs - потік постнумерандо;

А - величина першого платежу.

Як випливає з цієї формули, приведена вартість безстрокового ануїтету пренумерандо перевищує наведену вартість безстрокового ануїтету постнумерандо на величину першого платежу.

Узагальнюючими показниками ануїтету є його майбутня і теперішня вартість.

Майбутня вартість ануїтету - це сума всіх членів потоків платежів з нарахованими на них процентами на кінець періоду, тобто на дату останньої виплати. Вона показує, яку величину представлятиме капітал, що вкладається, через рівні проміжки часу впродовж всього терміну ануїтету разом з нарахованими процентами.

Проста формула визначення майбутньої вартості ануїтету така:

де: FV_A - загальна майбутня вартість ануїтету на кінець визначеного періоду; - ануїтетні платежі; _A - ануїтетний фактор, або процентний фактор майбутньої вартості ануїтету.

Для полегшення підрахунків майбутньої вартості ануїтету існують стандартні таблиці, в яких вже підсумовані проміжні процентні фактори майбутньої вартості ануїтету і дається один фактор.