Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков.






Известно, что всякое положительное число a может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби

где a i – цифры числа a (a i = 0, 1, 2, …, 9), причем старшая цифра a m ¹ 0, а m – некоторое целое число (старший десятичный разряд числа a). Например,

3141, 59… = 3× 103 + 1× 102 + 4× 101 + 1× 100 + 5× 10–1 + 9× 10–2 + …

Каждая единица, стоящая на определенном месте в числе a, написанном в виде десятичной дроби, имеет свое значение. Единица, стоящая на первом месте, равна 10 m, на втором – 10 m – 1, на n -м – 10 m n + l и т. д.

На практике преимущественно приходится иметь дело с приближенными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби

Все сохраняемые десятичные знаки b i (i = m, m – 1, …, mn + l) называются значащими цифрами приближенного числа b, причем возможно, что некоторые из них равны нулю (за исключением b m). При позиционном изображении числа b в десятичной системе счисления иногда приходится вводить лишние нули в начале или в конце числа. Например,

b = 7× 10–3 + 0× 10–4 + 4× 101 + 1× 10–5 + 0× 10–6 = 0, 00 7010,

или

b = 2× 109 + 0× 108 + 0× 107 + 3× 106 + 0× 105 = 2 003 0 00 000.

Такие нули (в приведенных примерах они подчеркнуты) не считаются значащими цифрами.

Определение 1. Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его, не причисляются к значащим цифрам.

Например, в числе 0, 002 080 первые три нуля не являются значащими цифрами, так как они служат только для установления десятичных разрядов других цифр. Остальные два нуля являются значащими цифрами, так как первый из них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй, как это отражено в записи, указывает, что в приближенном числе сохранен десятичный разряд 10–6. В случае, если в данном числе 0, 002 080 последняя цифра не является значащей, то это число должно быть записано в виде 0, 002 08. С этой точки зрения числа 0, 002 080 и 0, 002 08 неравноценны, так как первое из них содержит четыре значащих цифры, а второе – лишь три значащих цифры.

При записи больших чисел нули справа могут служить как для обозначения значащих цифр, так и для определения разрядов остальных цифр. Поэтому при обычной записи, чисел могут возникнуть неясности. Например, рассматривая число 689 000, мы не имеем возможности по его виду судить о том, сколько в нем значащих цифр, хотя можно утверждать, что их не меньше трех. Этой неопределенности можно избежать, выявив десятичный порядок числа и записав его в виде 6, 89× 105, если оно имеет три значащих цифры; или 6, 8900× 105, если число имеет пять значащих цифр, и т. п. Вообще, такого рода запись удобна для чисел, содержащих большое количество незначащих нулей, например

0, 000 000 120 = 1, 20× 10–7

и т. п.

Однако точность приближенного числа зависит не от того, сколько в этом числе значащих цифр, а от того, сколько значащих цифр заслуживает доверия, т. е. от количества верных значащих цифр.

Введем понятие о верных десятичных знаках приближенного числа.

Определение 2. Говорят, что n первых значащих цифр (десятичных знаков) приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n -й значащей цифрой, считая слева направо. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными.

Таким образом, если для приближенного числа a (1), заменяющего точное число A известно, что

(1)

то, по определению, первые n цифр a m, a m – 1, …, a m n + 1 этого числа являются верными.

Например, для точного числа A = 35, 97 число a = 36, 00 является приближением с тремя верными знаками, так как

Здесь m = 1, так как a = 36, 00 = 3× 101 + 6× 100 + 0× 10–1 + 0× 10–2, а n = 3.

Заметим, что в определении 1 говорится о верных знаках приближенного числа в узком смысле. Именно так это обычно и понимают в противоположность приближению в широком смысле, когда абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, выражаемого n -й значащей цифрой, считая слева направо, т. е. если выполняется неравенство

D = | Aa | £ 1× 10 m n +1. (2)

Например, для точного числа A = 17, 976 число а = 17, 98 является приближением с четырьмя верными знаками в узком смысле, так как

D = | А – a | = 0, 004 < 0, 5× 0, 01,

а число а = 17, 97 является приближенным с четырьмя верными цифрами в широком смысле, так как

D = | А – a | = 0, 006 < 1× 0, 01.

Неравенства (1) и (2) можно записать в виде D £ w× 10 m n +1, где параметр w, принимающий значения 0, 5 < w < 1, указывает на характер проводимых вычислений.

Итак, абсолютная погрешность приближенного числа связана с числом верных знаков соотношением

D £ w× 10 m n +1.

В какой же зависимости от числа верных значащих цифр находится относительная погрешность?

Приведем теорему, которая связывает величину относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа.

Теорема. Если положительное приближенное число a имеет n верных десятичных знаков в узком смысле, то относительная погрешность d этого числа не превосходит (0, 1) n – 1, деленную на первую значащую цифру данного числа, т. е.

где a m – первая значащая цифра числа а.

Следствие 1.1. За предельную относительную погрешность числа a можно принять:

(3)

где am – первая значащая цифра числа а.

Следствие 1.2. Если число a имеет больше двух верных знаков, т. е. n ³ 2, то практически справедлива формула


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.008 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал