Нахождение количества значащих цифр

Есть числа и соответствующие им погрешности:

a = 4, 632 Δ a = ± 0, 003

a = 0, 64 Δ a = ± 0, 004

a = 12, 412 Δ a = ± 0, 003

Нужно найти количество значащих и верных значащих цифр.

Как указывалось выше значащая цифра (з.ц.) приближенного значения а, находящаяся в разряде, в котором выполняется условие: абсолютная погрешность не превосходит половину единицы этого разряда Δ a ≤ 10 ⁿ ´ 1/2, называется верной.

Все цифры числа, кроме нулей слева, являются значащими:

4, 632 – 4 значащих цифры (значащие цифры подчеркнуты);

0, 64 – 2 значащих цифры.

Рассмотрим a = 4, 632, Δ a = 0, 003.

Берём первую значащую цифру 4 и проверяем вышеуказанное условие. В данном случае n = 0 (десятичный разряд). Тогда 10 ⁿ ´ 1/2 = 10⁰´ 1/2 = 0, 5 > 0, 003, значит 4 – верная значащая цифра.

6: n = –1, 10 ⁿ ´ 1/2 = 10^–1´ 1/2 = 0, 1/2 = 0, 05 > 0, 003 – верная з.ц.

3: n = –2, 10 ⁿ ´ 1/2 = 10^–2´ 1/2 = 0, 01/2 = 0, 005 > 0, 003 – верная з.ц.

2: n = –3, 10 ⁿ ´ 1/2 = 10^–3´ 1/2 = 0, 001/2 = 0, 0005 < 0, 003 – сомнительная з.ц.

Итого: 3 верных з.ц. 4, 63 2 (верные цифры подчеркнуты).

ВАЖНО! Все значащие цифры СПРАВА от сомнительной тоже сомнительные. Т.е. если Вы нашли первую сомнительную з.ц., то продолжать проверку дальше не имеет смысла.

Рассмотрим a = 12, 412, Δ a = 0, 003.

Значащих цифр 5. Считаем верные:

1: n = 1, 10 ⁿ ´ 1/2 = 10¹´ 1/2 = 10/2 = 5 > 0, 003 – верная з.ц.

2: n = 0, 10 ⁿ ´ 1/2 = 10⁰´ 1/2 = 1/2 = 0, 5 > 0, 003 – верная з.ц.

4: n = –1, 10 ⁿ ´ 1/2 = 10^–1´ 1/2 = 0, 1/2 = 0, 05 > 0, 003 – верная з.ц.

1: n = –2, 10 ⁿ ´ 1/2 = 10^–2´ 1/2 = 0, 01/2 = 0, 005 > 0, 003 – верная з.ц.

2: n = –3, 10 ⁿ ´ 1/2 = 10^–3´ 1/2 = 0, 001/2 = 0, 0005 < 0, 003 – сомнительная з.ц.

Итого: в числе 5 значащих цифр, из них 4 верные 12, 41 2.

Пример 1. Определить предельную абсолютную погрешность число a = 3, 14, заменяющего число p.

Решение. Так как имеет место равенство 3, 14 < p < 3, 15, то | a – p | < 0, 01, и, следовательно, можно принять D a = 0, 01. Если учесть, что 3, 14 < p < 3, 142, то будем иметь лучшую оценку: D a = 0, 02.

Пример 2. Какова предельная относительная погрешность, если вместо числа p взять число a = 3, 14?

Решение. В нашем случае a _m = 3 и n = 3. Следовательно,

Пример 3. Какова предельная относительная погрешность приближенного числа a = 4, 176, если оно имеет только верные цифры в узком смысле?

Решение. Так как в числе 4, 176 все четыре цифры верны в узком смысле
n = 4, то выбираем w = 0, 5. Воспользовавшись несколько видоизмененной формулой (3) находим предельную относительную погрешность

Заметим, что предельную относительную погрешность числа а можно найти, пользуясь формулой, связывающей ее с предельной абсолютной погрешностью:

Так как в данном числе а все цифры верны в узком смысле, то D a = 0, 0005. Тогда

d _a = 0, 0005 / 4, 176 = 0, 000120 = 0, 0120%.

Как видим, разница невелика, но применение формулы (3) несколько упрощает вычисление d _a.

Пример 4. Какова предельная относительная погрешность числа а = 14, 278, если оно имеет только верные цифры в широком смысле?

Решение. Так как все пять цифр числа верны в широком смысле, то w = 1, Тогда

Пример 5. Со сколькими верными десятичными знаками в узком смысле надо взять , чтобы погрешность не превышала 0, 1%?

Решение. Здесь d _a £ 0, 1; w = 0, 5, имеем

откуда 10 ⁿ > 1250, n > 3 + lg l, 25, т. е. n > 3, где n – наименьший целочисленный аргумент.

Задание 2. В ходе вычислений получены приближенные значения некоторых величин: a = 5, 256, b = 2, 892. Установить, какой из результатов более точен, если известны их истинные значения: A = 5, 158 и B = 2, 814.

Для решения задачи использовать табличный процессор Excel, рекомендуемый вид экрана приведен на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Сравнение относительных погрешностей приближенных величин

При решении задания 2 вводятся начальные значения в ячейках C4: C5; E4: E5. Остальные значения рассчитываются средствами Excel по формулам, приведенным в теоретической справке. Для отображения относительной погрешности в процентах, установите соответствующий формат ячейки.

Задание 3. Известно, что

где A = 1, 34 ± 0, 02; B = 7, 98 ± 0, 05; C = 52, 74 ± 0, 1.

1. Найти предельную абсолютную погрешность D x * функции x.

Исходная функция x является функцией трех переменных а, b, c. Для оценки предельной абсолютной погрешности воспользуемся формулой:

Найдем частные производные функции

Рис. 1.3. Типовой экран для вычисления абсолютной и относительной
погрешностей функции x (a, b, c)

Введем исходные данные в блок А3: В8 (см. рис. 1.3). В ячейках С3: С8 вычислим значения

В ячейку F10 запишем формулу

для вычисления предельной абсолютной погрешности.

2. Найти абсолютную погрешность D x функции x.

В ячейках D3: D8 рассчитаем верхнюю оценку значений переменных:
a_В = 1, 34+0, 02 (= А4+B4), аналогично b_В, c_В. В ячейке В10 вычислим верхнюю оценку значения функции

Нижняя оценка значения функции

вычисляется в ячейках Е3: Е8 и В11 аналогично.

Значение абсолютной погрешности функции ищется по формуле

в ячейке F11. Найденная абсолютная погрешность (ячейка F11) должна быть не больше предельной абсолютной погрешности (ячейка F10), т.е. должно выполняться условие: D x £ D x ^*.

3. Вычислить относительную погрешность d x функции x.

Исходные данные позволяют вычислить значение x при a = 1, 34; b = 7, 98;
c = 52, 74 в ячейке В12, а в ячейке F12 – рассчитать значение относительной погрешности d x, используя найденное выше значение абсолютной погрешности D x.

4. Оценить предельную относительную погрешность d x ^* функции x.

Предельная относительная погрешность заданной функции, согласно рассмотренным выше формулам, представима в виде

Запишите полученную формулу в ячейку F13. Убедитесь в том, что значение относительной погрешности не превосходит значения предельной относительной погрешности, т.е. d x £ d x ^*.

Задание 4. Скопировать задание 3 на новый лист. Ввести данные своего варианта в ячейки А3: В8 (см. рис. 1.3). Вычислить xВ, xН, x (ячейки B10, B11, B12). Вычислить частные производные и заполнить формулами ячейки С4, С6, С8. Изменить формулу вычисления предельной относительной погрешности d x ^* в ячейке F13, пользуясь основными правилами. Все остальные ячейки пересчитаются автоматически. Оформить отчет для своего варианта.

Варианты задания

№ п/п	Выражение	Значения параметров
A	B	C
1.		3, 85±0, 04	2, 043±0, 004	96, 6±0, 2
2.		2, 28±0, 6	84, 6+0, 02	68, 7±0, 05
3.		4, 632±0, 03	23, 3±0, 04	11, 3±0, 6
4.		0, 323±0, 005	3, 147±0, 008	1, 78±0, 05
5.		0, 323±0, 005	3, 147±0, 008	1, 78±0, 05
6.		0, 258±0, 01	3, 45±0, 004	1, 374±0, 007
7.		2, 712+0, 005	0, 37±0, 02	13, 21+0, 08
8.		3, 804±0, 003	4, 05±0, 005	2, 18±0, 01
9.		0, 834±0, 004	138±0, 03	1, 84±0, 01
10.		54, 8±0, 02	2, 45±0, 01	0, 68±0, 04
11.		13, 28±0, 02	2, 37±0, 007	5, 13±0, 01
12.		0, 231±0, 008	2, 13±0, 01	5, 91±0, 05
13.		1, 182±0, 005	2, 18±0, 009	0, 19±0, 01
14.		0, 95±0, 01	2, 3±0, 03	1, 195±0, 005
15.		1, 19±0, 05	2, 3±0, 1	5, 191±0, 08
16.		13, 52±0, 02	5, 1±0, 03	9, 273±0, 008
17.		1, 18±0, 01	2, 75±0, 05	3, 62±0, 007
18.		1, 95±0, 03	2, 18±0, 01	9, 193±0, 008
19.	x = a + b + c 2	0, 193±0, 006	1, 19±0, 01	2, 276±0, 009
20.		2, 56±0, 04	1, 785±0, 09	3, 4±0, 1
21.		0, 171±0, 004	0, 91±0, 007	1, 1±0, 01
22.		1, 65±0, 06	0, 09±0, 04	13, 5±0, 08
23.		1, 18±0, 05	5, 1±0, 01	0, 9±0, 005
24.		13, 7±0, 05	6, 2±0, 01	0, 721±0, 008
25.		0, 18±0, 005	1, 231±0, 008	7, 3±0, 01
26.		13±0, 08	7, 10, 02	0, 8310, 007
27.		15, 76±0, 03	7, 3±0, 05	1, 141±0, 009
28.		0, 841±0, 008	1, 13±0, 01	5, 21±0, 04
29.		1, 692±0, 005	2, 13±0, 008	13, 1±0, 02
30.		3, 85±0, 02	2, 043±0, 005	9, 61±0, 04