Определение первой коммутации

Решение:

По условиям нам даны Е=100 В; L=125 мГн; С=140 мкФ; r₂ = r₃ = 25 Ом.

Составим схему для первой коммутации (рисунок 2).

Рисунок 2 – Схема первой коммутации

Определение независимых начальных условий из анализа и расчета схемы до коммутации:

Составим характеристическое уравнение по выражению для комплексного сопротивления схемы после коммутации при замене jω на p:

,

то есть характеристическое уравнение имеет вид:

Преобразуем его и получим:

.

После подстановки данных и преобразования уравнения имеем:

Теперь найдем корни характеристического уравнения:

Корни характеристического уравнения получились комплексно-сопряжёнными: р₁₂ = − 200±j131, с^-1 . Отсюда знаем, что α = 200 с^-1, ω ₀ = 131 с^-1.

Определим выражение напряжения на конденсаторе u_c(t) в переходном процессе:

. (1)

Напряжение на конденсаторе в установившемся режима u_{c уст} = Е, так как конденсатор был последовательно включен в цепь с источником ЭДС. Постоянные интегрирования A и ψ определяются из начальных условий.

Так как в уравнении (1) две неизвестные величины нам нужно, составить систему из двух уравнений. Для этого нужно ввести еще одно уравнение:

Теперь составляем систему из двух уравнений при t=0:

Подставим данные в систему уравнений:

Решив систему уравнений, мы получим следующее: ;

Напряжение на конденсаторе в переходном процессе:

. (2)

Определим выражение искомого тока в переходном процессе:

(3)

Ток установившегося режима , так как заряженный конденсатор постоянному току оказывает бесконечно большое сопротивление и введет себя как разрыв. Постоянные интегрирования B и β определяются из начальных условий.

Так как в уравнении (3) две неизвестные величины нам нужно, составить систему из двух уравнений, поэтому дифференцируем его:

.

Cоставляем систему из двух уравнений при t=0:

(4)

Нам не известна первая производная тока в момент коммутации . Чтобы ее найти, мы составим уравнение по второму закону Кирхгофа:

Подставив известные нам значения и решив уравнение, мы получим: А/с.

Теперь подставляем данные в систему уравнений (4):

Решив систему уравнений, имеем B = 6.1; β = 0.

Тогда искомый ток в переходном процессе:

(5)

Определим постоянную времени цепи t₁:

Определим напряжение на конденсаторе u_c на конец первой и начало второй коммутации, подставив найденное значение в уравнение (2):

Искомый ток в переходном процессе:

.