Определение третьей коммутации

Решение:

По условиям нам даны Е=100 В; L=125 мГн; С=140 мкФ; r₂ = r₃ = 25 Ом. Составим схему для третьей коммутации (рисунок 4).

Рисунок 4 – Схема третьей коммутации

Определение независимых начальных условий из анализа и расчета схемы до третьей коммутации:

Составим характеристическое уравнение по выражению для комплексного сопротивления схемы после коммутации при замене jω на p:

,

то есть характеристическое уравнение имеет вид:

Преобразовав его и подставив данные, получим:

Теперь найдем корни характеристического уравнения:

Корни характеристического уравнения получились комплексно-сопряжёнными: р₁₂ = − 400±200j, с^-1 . Отсюда знаем, что α = 400 с^-1, ω ₀ = 200 с^-1.

Определение выражения искомого тока i₁(t) в переходном процессе:

. (1.3.1)

Ток установившегося режима , так как заряженный конденсатор постоянному току оказывает бесконечно большое сопротивление и введет себя как разрыв. Постоянные интегрирования A и определяются из начальных условий.

Так как в уравнении (1.3.1) две неизвестные величины нам нужно, составить систему из двух уравнений, поэтому дифференцируем его:

.

Cоставляем систему из двух уравнений при t=0:

(1.3.2)

Нам не известна первая производная тока в момент коммутации . Чтобы ее найти, мы составим уравнения по законам Кирхгофа для любого момента времени, при этом контуры выбираем таким образом, чтобы индуктивность входила только в один контур:

(1.3.3)

Записываем первое и второе уравнения системы (1.3.3) при t = 0:

Используя независимые начальные условия, нашли токи ветвей при t = 0: i₁(0) = i₃(0) = 0, 52 А.

Дифференцируем первое и второе уравнения системы (1.3.3) и записываем их при t = 0; третье уравнение системы (1.3.3) записываем при t = 0:

(1.3.4)

Найдем значение первой производной напряжения на конденсаторе при t = 0:

Подставим найденное значение и другие данные в систему уравнений (1.3.4):

Решив его, получим ; ;

Теперь найдем постоянные интегрирования А и , подставив найденные значения в систему уравнений (1.3.2):

Решив его, имеем А = 0, 52; .

Тогда искомый ток в переходном процессе:

(1.3.5)

Определение выражения искомого тока i₂(t) в переходном процессе:

. (1.3.6)

Ток установившегося режима , так как заряженный конденсатор постоянному току оказывает бесконечно большое сопротивление и введет себя как разрыв. Постоянные интегрирования B и определяются из начальных условий.

Так как в уравнении (1.3.6) две неизвестные переменные нам нужно, составить систему из двух уравнений, поэтому дифференцируем его:

.

Cоставляем систему из двух уравнений при t=0:

(1.3.7)

Подставим известные значения:

Решив его, найдем постоянные интегрирования: В = 0, 52; .

Тогда искомый ток в переходном процессе:

(1.3.8)

Определим постоянную времени цепи t₃: