Элементы теории движения реальных газов

При движении газа на каждый его объем будут дейст­вовать не только те силы, которые характерны для стати­ки, но и другие, сильно усложняющие как явление в целом, так и его математическое описание. Для движения идеаль­ного газа этими дополнительными силами будут силы инер­ции, а для реального газа — силы инерции и трения (вяз­кости). В механике сплошных сред большое внимание уделяется выводу и использованию соответствующих мате­матических уравнений, описывающих движение идеальных (уравнения Эйлера) и реальных сред (уравнения Навье — Стокса). Уравнения Навье — Стокса настолько сложны, что к настоящему времени решены лишь для крайне огра­ниченного числа случаев. Эта сложность вызвана сильным влиянием вязкости среды на различные аспекты процесса движения. В силу этого в допустимых случаях прибегают к решению уравнений Эйлера для движения идеальных сред с введением необходимых поправок и уточнений. Та­ким образом, получено одно из важнейших уравнений гидро- и аэродинамики — уравнение (закон) Бернулли.

Уравнение Бернулли. В практических условиях крайне распространенным является движение в трубах и каналах, когда газ через боковые стенки не расходуется. В таких случаях для расчетов применяется уравнение Бернулли, полученное для струйки тока (трубка тока), характерной тем, что расход газа в любом ее сечении остается неизмен­ным (обмен газом между всем потоком и струйкой тока через ее боковые границы отсутствует).

Для несжимаемого газа (r = const) уравнение Бернул­ли при условии, что все его члены отнесены к единице объ­ема, имеет вид

rgz +р +rw ²/2 = const. (14)

В соответствии сэтим величина р является статическим давлением, величина rgz — геометрическим давлением, величина rw ²/2 — динамическим давлением.

Уравнение Бернулли представляет собой закон сохра­нения энергии, поскольку сумма р + rgz характеризует потенциальную, а величина rw ²/2 — кинетическую энергию.

Как отмечалось выше, в металлургической теплотехни­ке в подавляющем большинстве случаев пользуются дав­лением, избыточным над атмосферным. Поэтому полезно уравнение Бернулли привести к такому виду, при котором все члены его были бы выражены в избыточных давлениях. Для этого представим себе канал, окруженный воздухом плотностью r _в, по которому движется газ плотностью r _г. Принимая плотности газа и воздуха неизменными, напи­шем уравнение Бернулли и для газа и воздуха примени­тельно к сечениям канала z ₁и z ₂.

Уравнение для газа

Уравнение для воздуха (считаем, что воздух находится в спокойном состоянии)

Вычитая из первого второе, получаем уравнение Бер­нулли для газа в избыточных давлениях:

(15)

Если перейти к ранее принятому обозначению через h, то уравнение можно соответственно переписать в таком виде:

(15¢)

Однако равенство h _S1 = h _S2 строго справедливо лишь для идеальной среды, полностью лишенной вязкости. Но если по каналу перемещается реальная (вязкая) жид­кость (газ), то часть энергии тратится на преодоление различных сопротивлений и происходит потеря энергии.

В этом случае при движении от сечения I к сечению II

h _S1 = h _S2 + h _потерь (16)

и окончательно закон Бернулли формулируется следующим образом: «При установившемся течении несжимаемой жид­кости (газа) для различных сечений канала сумма давле­ний всех видов является постоянной».

Рассмотрим, что представляет собой потерянное давле­ние, входящее в уравнение Бернулли.

При движении реального газа часть его энергии расхо­дуется на преодоление различных сопротивлений.

Различают потери на трение и потери на преодоление местных сопротивлений. Потери на местные сопротивления возникают при резком изменении величины и направления скорости, при резком изменении сечения канала, при пово­роте канала или усложнении его сечения (трубчатый пу­чок). Величину потерь напора выражают в долях динами­ческого давления.

Потери на трение Л_тр можно определить по формуле (Па)

(17)

где l — коэффициент трения; l — длина канала, м; d _г— гидравлический диаметр канала, м (для некруглого сече­ния канала d _г = 4 F/П, F — площадь сечения канала, м²; П — периметр канала, м); r ₀ и w ₀ — плотность и скорость жидкости (газа) при нормальных условиях, т. е. при атмос­ферном давлении и температуре Т₀, равной 273 К; Т — действительная температура жидкости или газа, К.

При ламинарном движении (Rе < 2300) коэффициент трения зависит от критерия Rе

l = 64/Rе. (18)

При турбулентном движении коэффициент трения зави­сит не только от критерия Rе, но и от относительной шеро­ховатости стенки канала (D/ d), равной отношению абсо­лютной шероховатости D (в мм) к диаметру канала d:

(18¢)

При приближенных практических расчетах коэффици­ент трения l можно принимать постоянным и равным для кирпичных каналов 0, 05, для металлических 0, 04.

Потери на преодоление местных сопротивлений опреде­ляются по формуле (Па)

где x— коэффициент местных сопротивлений. Его величи­на зависит от формы местного сопротивления и, как прави­ло, определяется опытным путем.

Важнейшим расчетом, который выполняется для подав­ляющего большинства печей, является определение сум­марных потерь давления на пути движения дымовых газов от печи до дымовой трубы. Суммарные потери исполь­зуются при определении размеров дымовой трубы, кото­рая рассчитывается из условия, что разрешение, создавае­мое дымовой трубой, должно быть по абсолютной величине больше суммы всех сопротивлений, возникающих в дымо­вом тракте печи (см. том 2-й настоящего издания).

Таким образом, уравнение (закон) Бернулли находит очень широкое применение. Наряду с уравнением Бернул­ли важную роль в гидро- и аэродинамике играют также уравнение сплошности и уравнение импульсов Эйлера.

Уравнение сплошности. В практических условиях наи­более распространенными являются такие процессы, при которых масса газа, протекающая по какому-то объему, остается неизменной. При этом, естественно, масса газа, втекающая в объем в единицу времени, должна быть рав­на массе вытекающего газа.

Следовательно, можно написать, что т ₁ = т ₂, или, учи­тывая, что масса есть произведение скорости, сечения по­тока и плотности, получаем

w ₁ f 1 r ₁ = w ₂ f ₂ r ₂.

При условии постоянства плотности (r ₁ = r ₂) последнее выражение принимает вид

w ₁ f 1 = w ₂ f ₂. (19)

Если в качестве скорости принимать среднюю скорость потока, то выражение (19) применимо для практических расчетов при течении в трубах и каналах, причем средняя скорость потока определяется как частное от деления се­кундного объема среды, проходящего через данное сече­ние, на величину площади сечения, т. е.

w = V/f.

Уравнение импульсов Эйлера. Уравнение импульсов (количеств движения) Эйлера имеет важное значение для некоторых практических расчетов. Это уравнение приме­нимо к какому-то воображаемому контуру, выделенному в общем потоке газа, через боковую поверхность которого ни движения, ни массообмена не происходит.

В подобном контуре под действием внешних сил (в по­токе газа под действием давления) происходит изменение количества движения газа. Если изменение импульсов проходящего газа и изменение внешних сил отнести к единице времени, то теорема импульсов Эйлера может быть сфор­мулирована следующим образом: «Изменение импульса всех сил, приложенных к газу, проходящему через выделен­ный контур, равно результирующей внешних сил, действу­ющих на данный контур».

Записывается это уравнение так:

SD(mw) = S P. (20)

Применение уравнения импульсов будет проиллюстри­ровано ниже при рассмотрении струйных аппаратов. Рас­четы инжекторов и эжекторов с использованием выраже­ний, полученных на основании применения уравнения им­пульсов Эйлера, приведены во 2-м томе настоящего изда­ния.