Вихідні дані:
Строчка даних 4, схема 7: R 1 = 10 Ом; R 2 = 6 Ом; R 3 = 8 Ом; R 4 = 7 Ом; R 5 = 15 Ом; R 6 = 5 Ом; R 7 = 4 Ом; E 1 = 30 В; E 2 = 10 В; E 3 = 15 В; E 4 = 40 В; E 5 = 20 В; E 6 = 20 В; E 7 = 10 В; J 1 = 2 A; J 2 = 8 A.
Для вихідної схеми вкажемо напрямки всіх струмів та визначимося з контурними струмами та вузлами.
Складемо граф для вихідної схеми:
Визначимося з кількістю рівнянь, які потрібно скласти для кожного з методів розв’язання.
Кількість віток
| в
|
| Кількість вузлів в системі
| y
|
| Кількість незалежних контурів
| к=(в-у+1)
|
| Кількість рівнянь за методом рівнянь станів
| NМРС=в
|
| Кількість рівнянь за І законом Кірхгофа
| NI З.К.=у-1
|
| Кількість рівнянь за ІІ законом Кірхгофа
| NIІ З.К.= NМРС -NI З.К.
|
| Кількість рівнянь за методом контурних струмів
| NМКС=к
|
| Кількість невідомих за методом вузлових потенціалів
| NМУП=у-1< в
|
|
Перший закон Кірхгофа застосовується до вузлів і формулюється таким чином: алгебраїчна сума струмів у вузлі дорівнює нулю. . Додатними записуються струми, що направлені від вузла, від’ємними – ті, що направлені до вузла. Слід зауважити, що потрібно враховувати струм джерела якщо воно з’єднано з вузлом.
Другий закон Кірхгофа застосовується до контурів електричного ланцюга та формулюється таким чином: у будь-якому контурі, алгебраїчна сума напруг на затисках віток, що входять до цього контуру дорівнює нулю. , або . Додатними записуються напруги та струми, напрямок яких співпадає з напрямком довільно вибраним напрямком обходу контуру.
1.
Складемо систему рівнянь за законами Кірхгофа:

2.
Запроваджуючи поняття контурних струмів, струми віток визначають як алгебраїчну суму оточуючих кожну задану вітку. Додатними записуються контурні струми, напрямок яких співпадає з напрямком струмів віток.
Визначимо струми у вітках через контурні струми:

Запишемо систему рівнянь за методом контурних струмів у загальному вигляді:

В матричному вигляді, ця система має такий вигляд:
, де , , .
Елементи головної діагоналі матриці [ R ] – повні (власні) опори відповідних контурів. Повним опором контуру будемо називати суму опорів даного контуру. Елементи, що лежать поза головною діагоналлю ( ) – загальні опори для і -го та j -го контурів. Загальні опори записуємо зі знаком “+”, якщо контурні струми суміжних контурів орієнтовані згідно. Якщо суміжні контури не мають загальних опорів, відповідний опір записуємо як нуль.
Слід зауважити, що якщо коло містить вітки з джерелом струму, то в цьому випадку ми вважаємо, що кожна вітка з джерелом струму входить до складу деякого контуру, який містить в собі інші вітки з джерелом ЕРС та опорів. При цьому, контурні струми даних контурів вважаються наперед відомими, та рівними струму джерела. Рівняння за методом контурних струмів в цьому випадку складають тільки для контурів з невідомими контурними струмами, але при запису слід враховувати усі контурні струми, як відомі, так і невідомі.
Складемо систему рівнянь за методом контурних струмів.

Підставимо в отриману систему рівнянь початкові дані.

У матричній формі, ця система рівнянь має такий вигляд:

Для розв’язку цієї системи застосуємо метод Крамера.




Знайдемо контурні струми.
;
;
.
Струми в вітках знаходимо через контурні струми.

Перевірити отримані результати можна шляхом підстановки значень до рівнянь, отриманих за ІІ-м законом Кірхгофа.



Як можна побачити з перевірки, загальна похибка в розв’язку за методом контурних струмів не перевищує 0, 01. Ця похибка виникла як результат округлення при розрахунку системи рівнянь.
3.
У методі контурних струмів, ми вважали первісними невідомими контурні струми, а в методі вузлових потенціалів, за невідомі беруться потенціали вузлів ланцюга. Струми у вітках можуть бути знайдені через потенціали вузлів завдяки закону Ома.
В матричному вигляді, система рівнянь має такий вигляд:
, де [ G ] – квадратна матриця вузлових провідностей. Відомо, що провідність G – величина, обернена опору. .
Елементи головної діагоналі матриці [ G ] – узята зі знаком “+” сума провідностей усіх віток, приєднаних до даного вузла (власна провідність). Елементи, що лежать поза головною діагоналлю (Gij, i≠ j) – узята зі знаком “–” сума провідностей віток, що з’єднують між собою вузли i та j (загальна провідність). Права частина кожного рівняння, J дорівнює алгебраїчній сумі добутку ЕРС джерела та провідності кожної вітки, що приєднана до даного вузла. Знак “+” – якщо ЕРС направлена до вузла, що розглядається, та “–”, якщо від вузла. Для складання системи рівнянь за методом вузлових потенціалів, один з вузлів необхідно заземлити.
Заземлимо вузол 1: φ 1=0. Тоді φ 2=-Е3=-15 В.
Складемо систему рівнянь.

Підставляючи початкові дані, отримуємо:


В матричній формі ця система має такий вигляд:
.
Розв’яжемо її за допомогою метода Крамера.



Знайдемо потенціали вузлів 3 та 4:
В; В.
Струми в гілках знаходимо згідно закону Ома.
А;
А;
А;
А;
А;
А, згідно з I-м законом Кірхгофа.
Перевірку метода вузлових потенціалів виконують за І-м законом Кірхгофа.


Як видно з останньої системи рівнянь, отримані данні відповідають рівнянню за І-м законом Кірхгофа.
4.
Баланс потужності – наслідок застосування закону збереження енергії для електричних ланцюгів.
Для розрахунку балансу потужності необхідно знати напругу на джерелах струму.
В.
В.
Знайдемо потужність джерела та споживача енергії.
Вт;
Вт.
Як можна побачити, Рдж ≈ Рсп, тобто баланс потужностей виконується.
5.
Знайдемо показники вольтметру як різницю потенціалів між точками його підключення. В.
6.
Метод еквівалентного генератору використовується тоді, коли потрібно знайти струм в одній заданій вітці. Використаємо цей метод для розрахунку току І 2. Умовно прибираємо з кола вітку, що містить R 2, E 2.

Струм І 2 можна знайти за такою формулою: , де – напруга – холостого ходу на затисках розімкненої вітки. .
Розв’яжемо отримане коло за допомогою метода вузлових потенціалів.
Заземлимо вузол 1: φ 1=0. Тоді φ 2=-Е3=-15 В.
Складемо систему рівнянь.

Підставляючи початкові дані, отримуємо:


В матричній формі ця система має такий вигляд:
.
Розв’яжемо її за допомогою метода Крамера.



Знайдемо потенціали вузлів 3 та 4:
В; В.
В.
Потрібно знайти R екв. Для цього необхідно джерела ЕРС закоротити, вітки з джерелами струму розімкнути.

Ом.
Знаходимо значення току І 2.
А.
7.
Для побудови потенційної діаграми, необхідно обійти обраний контур та визначити потенціал кожної точки. Обходимо контур 1-2-3-4-1:
Заземлимо вузол 1: φ 1=0;
В;
В;
.
Перевіримо точність розрахунків:
В, ≈ 0
За результатами розрахунків, побудуємо потенційну діаграму.

|