Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.

Пусть поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0. Прямая называется касательной к поверхности в точке М₀(х₀, у₀, z₀), если она является касательной к какой – либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку М₀. Если в точке М₀ все три производные F_x`, F<sub>y</sub>`, F_z` равны нулю или хотя бы одна из них не существует, то точка М₀ называется особой точкой поверхности. Если в точке М₀ все три производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка М₀ называется обыкновенной точкой поверхности. Можно показать, что все касательные прямые к данной поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью к поверхности в точке М₀. (В особых точках поверхности касательная плоскость может не существовать).

Касательная плоскость перпендикулярна вектору и её уравнение имеет вид:

F_x`(x - x<sub>0</sub>) + F<sub>y</sub>`(y - y₀) + F_z`(z -z₀) = 0 (5.7).

Если уравнение поверхности задано в виде z = f(х, y), то уравнение касательной плоскости примет вид: z - z₀ = f_x`(x - x<sub>0</sub>) + f<sub>y</sub>`(y - y₀) (5.7`).

Прямая, проведенная через точку М₀(х₀, у₀, z₀) поверхности перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности. Ее направление определяется вектором `N и канонические уравнения примут вид:

(5.8),

а если уравнение поверхности задано в виде z = f(x, y), то

(5.8`).

Обсудим геометрический смысл частных производных и полного дифференциала функции z = f(x, y) (F(x, y, z) = 0). Проведем через точку Р(х₀, у₀, z₀) плоскость х = х₀. В сечении ее поверхностью (рис. 5.1) получим линию. Если дать приращение Dy = MN = PТ` переменной у (при неизменном х), функция получит приращение D<sub>y</sub>z = TT`. Очевидно, предел , где b – угол, образуемый касательной PВ к кривой PТ в точке Р₀ с положительным направлением оси Оу. Аналогично, , где a – угол, образуемый касательной к сечению поверхности z = f(x, y) плоскостью у = у₀ с положительным направлением оси Ох. Если в (5.7') положим х –х₀ =Dх, у – у₀ = Dу, то оказывается, что правая часть ее – полный дифференциал функции z = f(x, y) и z – z₀ = dz, т.е. полный дифференциал функции двух переменных в точке М(х, у), соответствующий приращениям Dх и Dу независимых переменных х и у, равен соответствующему приращению аппликаты z плоскости касательной к поверхности z = f(x, y).

Контрольные вопросы.

1) Какая точка называется особой точкой поверхности?

2) Какая плоскость называется касательной к поверхности в точке?

3) Что называется нормалью к поверхности?

4) В чём состоит геометрический смысл частных производных и полного дифференциала функции z=f (x, y)?