Условный экстремум функции нескольких переменных.

Экстремумы функции нескольких независимых переменных называются абсолютными.

Аргументы функции нескольких переменных могут быть связаны некими соотношениями (условиями). В этом случае экстремумы функции f(x, y) называют условными или относительными. Рассмотрим ситуацию на примере функции двух переменных.

Поставим задачу: найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y) в некоторой замкнутой области. Задача решается в два этапа. Сначала мы ищем абсолютные экстремумы внутри области. Затем находим условные экстремумы на границах области. (Уравнения границ и есть условия, связывающие аргументы функции f(x, y)). Из найденных значений (абсолютных экстремумов внутри области и условных на границах ее) выбирают наибольшее и наименьшее.

Пусть на плоскости х0у дан треугольник АОВ, образованный осями координат Ох (у = 0), Оу (х = 0) и прямой х + у – 1 = 0. Найдем точку С треугольника, для которой сумма квадратов расстояний ее от вершины треугольника (обозначим ее через Z) была бы наименьшей.

1 ●           Рис. 5.4

Z = OC2 + OB2 + OA2 =   = x2 + y2 + (x – 1)2 + y2 + x2 + (y – 1) откуда Z = 2x2 + 2y2 + (x – 1)2 + (y – 1)2   Найдем абсолютные экстремумы внутри рассматриваемой области. 4х + 2(х – 1) = 6х – 2;   4у + 2 (у – 1) = 6у – 2

∆ = АС – В² = 36 > 0; А > 0 и, следовательно, в точке функция

Z = f(x, y) имеет минимум .

Найдём условные экстремумы на границах области.

1. Прямая ОА; у=0; Подставляя уравнение границы в получим функцию одной переменной и найдём её экстремум Критическая точка:

2. Прямая ОВ; х=0; Критическая точка

3. Прямая АВ; ; Критическая точка

Сравнивая полученные значения абсолютного и условных экстремумов находим наименьшее значение функции в замкнутой области .

Рассмотренный способ отыскания условного экстремума не всегда пригоден. (Например, если уравнение границы области задано неявной функцией , неразрешимой относительно переменных). В этом случае целесообразно использовать способ множителей Лагранжа. Рассмотрим его на примере функции двух переменных.

Найдём экстремум функции (1) при условии, что х и у связаны уравнением (5.14). Напомним, что при значениях х, соответствующих стационарным точкам, . Найдём помня, что у есть функция от х: В точках экстремума (5.15). Из (5.14.) находим (5.16.). Это равенство справедливо для всех х и у, удовлетворяющих (5.14.). Умножив (5.16.) на неопределённый коэффициент (его и называют м ножителем Лагранжа) и сложив результат с (5.15.) получим:

, (5.17.).

Это равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём l так, чтобы в точках экстремума функции z, вторая скобка в (5.17.) обратилась в нуль. (Без потери общности полагаем, что в критических точках ). Тогда (при значениях х и у соответствующих экстремумам) из (5.17.) следует равенство .

Получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными (5.18.) Левые части уравнений системы (5.18.) представляют собой частные производные функции (5.19.) по переменным х, у, l. Уравнения системы являются необходимыми условиями относительного экстремума. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области надо:

1. Найти стационарные точки и вычислить значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.

3. Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Рассмотренный метод исследования на условный экстремум легко распространяется на функции произвольного числа переменных.

Пример: Из данного куска жести площадью 2а надо сделать закрытую коробку в форме прямоугольного параллелепипеда максимального объёма, т.е. надо найти максимум функции , где ( - размеры) при условии что (5.20.). Составим вспомогательную функцию . Найдя её частные производные и приравняв их нулю получим ещё три уравнения (относительно и l).

.

Умножим первое уравнение на х, второе на у, третье на z и сложим их; с учётом (5.20.) находим . Подставляя в (5.21.) получим:

учётом (10) находим . Подставляя в (11) получим:

х, у, z по смыслу задачи отличны от нуля, следовательно,

. Из первых двух уравнений находим х = у, из второго и третьего у = z. Из (5.20.) получим . Это единственная система значений х, у, z при которых может быть максимум или минимум. Из геометрических соображений очевидно, что это максимум (набор единствен, размер коробки ограничен и при каких-то размерах максимален).

Контрольные вопросы.

1) Как находятся условные экстремумы функции f(x, y)?

2) Всегда ли применяется способ отыскания условного экстремума?

3) Что называют множителем Лагранжа?

4) Что нужно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области?