Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
|
|
Пусть в пространстве (х, у, z) есть область D, в которой задана функция u = u(x, y, z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, т.е. каждая точка из этой области хaрактеризуется скаляром (числом) u, однозначно связанным с ее координатами. (Если u = f(x, y, z) определяет температуру в точке М (х, у, z) – поле температур и т.п.).
|
Проведем из точки М области D (рис. 5.2) вектор ` s, напрaвляющие косинусы которого cosa, cosb, cosg (a, b, g – углы наклона вектора к осям Ох. Оу, Оz). Возьмем на s точкy М1 (х + Dх, у + Dу, z + Dz). Расстояние ММ1 определится выражением 
. Полагаем, что функция и ее производные по х, у, z непрерывны в области D. Полное приращение функции представим как Du = ux` Dx + uy` Dy + uz` Dz + e1Dx + e2Dy + e3Dz (1) где e1, e2, e3 стремятся к нулю при Ds ® 0. Разделим все члены (1) на Ds:
(2).
Очевидно, что 
и (2) можно записать в виде: 
(3). в точке (x, y, z)
Предел отношения Du / Ds при Ds ® 0 называется производной от функции u = f(x, y, z) в точке (х, у, z) по направлению вектора ` s и обозначается 
; 
(4). Переходя к пределу в (3) получим:
(5.9)
Зная частные производные легко найти производную по любому направлению ` s. (Сами частные производные являются производными по направлению векторов ` i, `j, `k).
Градиентом функции u = f(x, y, z) в точке M(x, y, z) называется вектор, проекции которого на оси координат являются значениями частных производных функции в этой точке: 
(5.10)
Т.о. каждой точке области D задания функции u соответствует градиент grad u, т.е. в области D определено векторное поле градиентов. Можно показать, что если в области D задано скалярное поле u = u(x, y, z) и в нем определено поле градиентов (5.10), то (производная по направлению `s)равняется проекции вектора grad u на вектор ` s, т.е. 
(5.11),
откуда, обозначив через j угол между ` s и grad u, получим
5.11`) или 
(5.11``).
Отметим важное свойство градиента – производная в данной точке по направлению вектора ` s имеет наибольшее значение и равнa |grad u|, если направление` s совпадает с направлением градиента.
Контрольные вопросы.
1) Какое поле называется скалярным?
2) Как находится производная от функции u=f(x, y, z) в точке (x, y, z) по направлению вектора 
?
3) Что называют градиентом функции (поля) u=f(x, y, z) в точке (x, y, z)?