Оператори градієнта

Обчислення першої похідної цифрового зображення засноване на різних дискретних наближеннях двовимірного градієнта. Напрямок вектора градієнта збігається з напрямком максимальної швидкості зміни функції f в точці (х, у).

Рисунок 14 - Значення яскравостей в околі деякого елемента зображення

Обчислення градієнта зображення полягає в отриманні величин приватних похідних Gx = df / dx і Gу = df / dy для кожної точки. Oдин із способів знаходження перших приватних похідних Gx і Gу в конкретній точці полягає в застосуванні наступного градієнтного оператора Собеля:

Gx = (z7 + 2 * z8 + z9) - (z1 + 2 * z2 + z3) (11)

Gу = (z3 + 2 * z6 + z9) - (z1 + 2 * z4 + z7) (12).

Для цього оператора Собеля, який виявляє горизонтальні і вертикальні контури (перепади яскравості), неважко уявити відповідні маски для згортки з вихідним зображенням. Також можна змінити наведені формули (11) і (12) таким чином, щоб вони давали максимальний відгук для контурів, спрямованих діагонально. Додаткові пари масок оператора Собеля, призначені для виявлення розривів в діагональних напрямках, показані на рис.15, 16:

Рисунок 15 - Маска Собеля для виявлення точок, що лежать на діагональному перепаді -45 градусів

Рисунок 16 - Маска Собеля для виявлення точок, що лежать на діагональному перепаді +45 градусів.

У кожної з масок на рис. 15, 16 сума коефіцієнтів дорівнює нулю, тобто ці оператори будуть давати нульової відгук на областях постійної яскравості, як і слід було очікувати від диференціального оператора. Розглянуті маски застосовуються для отримання складових градієнта Gx і Gy. Для обчислення величини градієнта ці складові необхідно використовувати спільно. Часто використовується підхід, при якому величина градієнта обчислюється приблизно через абсолютні значення приватних похідних:

Gradient = | Gx | + | Gy | (13).