Решение типовых примеров.

1. .

1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть ; , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.

2) Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

;

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода , . Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

x		-5	(-5.-1)	-1
	+		-		+
		max		min

3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

; .

Итак, функции имеет одну критическую точку второго рода . Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

X		-3
	-		+
		т.п.

Значение является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки:

4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты воспользуемся формулами:

; .

Имеем

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5) Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума минимума перегиба и точку пересечения графика с осью Оу С учётом результатов предыдущих исследований построим кривую (см. рис.2).

6) Найдём наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке Для этого посчитаем значения функции на концах этого отрезка, в критических точках первого рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:

Очевидно,

2.

1) Область определения.

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х=4.

Вычислим её односторонние пределы в этой точке:

Таким образом, точка х=4 является для заданной функции точкой разрыва второго рада, а прямая х=4 – вертикальной асимптотой

графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.

x		-2	(-2.4)		(4.10)
	+		-	не сущ.	-		+
		max				min

4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Так как то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остаётся выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:

х			(4,
	-	не сущ.	+

5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.

Таким образом, прямая - наклонная асимптота графика.

6) Построение графика

Очевидно, график заданной функции пересекает ось Оу в точке (0; 5) и на основе обобщения результатов всех предыдущих исследований имеет вид, представленный на рис. 3.

81. Каковы должны быть размеры прямоугольника наибольшей площади, вписанного в круг радиуса 6см?

82. Проволока длиной 40см согнута в прямоугольник. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?

83. Канал, ширина которого 27м, под прямым углом впадает в другой канал шириной 64м. Какова наибольшая длина брёвен, которые можно сплавлять по этой системе каналов?

84. Найти наибольший объём цилиндра, у которого полная поверхность равна

85. Найти наибольший объём конуса, образующая которого равна

86. Турист идёт из пункта А, находящегося на шоссейной дороге, в пункт В, расположенный в 8км от шоссе. Расстояние от А до В по прямой составляет 17км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт В, если его скорость передвижения по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч.

87. Объём правильной треугольной призмы равен Какова должна быть длина стороны основания призмы, чтобы её полная поверхность была наименьшей?

88. Открытый чан имеет форму цилиндра объёма Каковы должны быть радиус основания и чана, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?

89. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

90. Требуется изготовить ящик с крышкой, объём которого был бы равен 72(см³), причём стороны основания относились бы как 1: 2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

91. Сечение оросительного канала имеет форму равнобочной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле наклона боковых сторон сечение канала будет иметь наибольшую площадь?

92. Требуется изготовить полотняный шатёр, имеющий форму прямого кругового конуса заданной вместимости Каковы должны быть размеры конуса (высота и радиус основания), чтобы в шатёр ушло наименьшее количество полотна?

93. Из прямоугольного листа жести размером 24 9см требуется изготовить открытую коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наименьшей?

94. Найти прямоугольник наибольшей площади, если сумма длин его катета и гипотенузы постоянна и равна 4(см).

95. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

96. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

97. Какое положительное число, будучи сложенным с обратным ему числом, даёт наименьшую сумму?

98. Деталь из листового железа имеет форму равнобедренного треугольника с боковой стороной 10см. Каким должно быть основание треугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

99. Огород прямоугольной формы огорожен изгородью, длина которой 72м. Каковы должны быть размеры огорода, чтобы его площадь была максимальной?

100. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 29м² и разделить, затем этот участок забором на две конгруэнтные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?