Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости.

Применим теперь закон сохранения энергии к элементарной струйке реальной (вязкой) жидкости. Допустим, что жидкость несжимаемая и теплообмен выделенной струйки с окружающей средой отсутствует. Движение жидкости − установившееся. Выделим в движущейся жидкости элементарную струйку, ограниченную сечениями 1-1 и 2-2. При движении идеальной жидкости от сечения 1-1 к сечению 2-2 полная удельная энергия является величиной постоянной, т.е.

При движении вязкой жидкости полная удельная энергия не остается постоянной вдоль струйки: в первом сечении она больше, чем во втором, т.е. . Запас полной энергии уменьшился, так как часть ее затрачена на преодоление сил трения: , где . − работа сил трения.

Энергия потока, израсходованная на преодоление сил трения, превращается в тепловую энергию, рассеивается и не может быть полностью восстановлена в механическую энергию в результате необратимости процесса. В этом смысле израсходованная на преодоление сил трения энергия называется потерянной.

Тогда уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой несжимаемой жидкости примет вид:

(1)

где − удельная энергия, потерянная на преодоление трения. Если размерность слагаемых уравнения Бернулли представить в виде размерности высоты в м, то называется напором, потерянный на преодоление трения. Таким образом, при установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости без теплообмена с окружающей средой разность полных напоров в двух сечениях одной и той же струйки равна напору, потерянному на трение между этими сечениями. Линия полного напора располагается не в горизонтальной плоскости, а снижается в направлении течения. Чем больше наклон этой линии, тем интенсивнее потери на трение в струйке между сечениями 1-1 и 2-2. В потоке реальной жидкости, кроме сопротивления трения, существуют и другие сопротивления, так называемые местные сопротивления, например, сопротивление при внезапном сужении и расширении потока, при резком изменении направления скорости и др., на преодоление которых, естественно, также затрачивается часть напора жидкости, В этом случае уравнение Бернулли записывается в виде

где - суммарная потерянная энергия на преодоление всех сопротивлений, имеющих место между сечениями 1-2. Вывод уравнения Бернулли дня несжимаемой вязкой жидкости можно получить путем интегрирования уравнений движения в форме Навье-Стокса. Уравнение Бернулли, составленное для элементарной струйки, можно распространить на поток с поперечным сечением конечных размеров, но при этом необходимо учесть неравномерность распределения скоростей по сечению вследствие вязкости жидкости. При движении вязкой жидкости вдоль твердой стенки, например, в трубе, происходит неравномерное торможение потока в сечении под влиянием вязкости и сил молекулярного сцепления между жидкостью и стенками: у стенки торможение потока максимальное. Поэтому наибольшей величины скорость достигает в центральной части потока, а по мере приближения к стенке уменьшается практически до нуля. Получается распределение скорости в сечении. В неравномерном потоке имеет место сдвиг одних слоев жидкости относительно других, вследствие чего возникают касательные напряжения трения. Кроме того, движение вязкой жидкости сопровождается вращением частиц, вихреобразованием и перемешиванием. Для того, чтобы одномерные уравнения элементарной струйки было можно применить к неравномерным потокам, вводится понятие средней скорости. Кинетическая энергия , вычисленная по средней скорости, не равна, а всегда меньше действительной величины кинетической энергии неравномерного потока, определяемой по формуле . Отношение обозначается коэффициентом , величина которого больше единицы. Таким образом, в уравнении Бернулли применительно к неравномерному потоку, слагаемое кинетической энергии должно быта записано в виде . Для ламинарного движения , для турбулентного . В большинстве практических задач движение турбулентное, и принимают . Допустим, что в поперечных сечениях неравномерного потока гидростатический напор остается постоянным для всех точек данного сечения: . Тем самым предполагается, что при движении жидкости отдельные струйки, в поперечном направления, оказывают друг на друга такое же давление, как слои жидкости в неподвижном состоянии. В действительности это имеет место только в параллельно-струйных потоках, а в остальных случаях это условие приближенно.

С учетом сказанного уравнение Бернулли для неравномерного потока вязкой несжимаемой жидкости будет иметь вид

где − средняя по сечению скорость (обычно индекс " ср" опускается), не реально существующая, а условная скорость; − суммарная потеря удельной энергии (напора) на преодоление различных сопротивлений на участке между рассматриваемыми сечениями; − безразмерный коэффициент, учитывающий неравномерность распределения скоростей.