Преобразование сложных структур

Условие работоспособности не всегда можно представить параллельно-последовательной структурой, как и в предыдущем случае. В таких случаях сложную структуру можно заменить на эквивалентную ей последовательно-параллельную. Для этого применяется преобразование «треугольник – звезда» и обратное. Метод заключается в том, что узел сложной конфигурации заменяют на узел другой, более простой конфигурации. При этом характеристики нового узла должны быть такими, чтобы показатели надежности преобразованной цепи остались прежними.

Допустим, требуется заменить треугольник звездой (рис. 5)

Рис. 5. Схемы для расчета надежности: «звезда» и «треугольник»

Вероятность безотказной работы цепи 1 – 2 (вероятность успешной передачи сигнала из точки 1 в точку 2) выразим поочередно через вероятности отказа элементов звезды и треугольника

Для звезды - Р_1-2 = (1 – Q₁)(1 – Q₂);

Для треугольника - Р_1-2 = 1 – Q_1-2 Q_1-3-2;

Где Q_1-3-2 - вероятность отказа цепи 1-3-2;

Q_1-3-2 = 1 – (1 - Q_1-3)(1- Q_3-2).

Выражение для треугольника:

Р_1-2 = 1 – Q_1-2 (1 – (1 - Q_1-3)(1- Q_3-2)).

Приравняем вероятности для звезды и треугольника

(1 – Q₁)(1 – Q₂) = 1 – Q_1-2 (1 – (1 - Q_1-3)(1- Q_3-2)).

После раскрытия скобок и группировки получим

Q₁ + Q₂ - Q₁*Q₂ = Q_1-2 (Q_3-2 + Q_3-1 - Q_3-2*Q_3-1).

Аналогично можно вывести уравнения для двух других цепей

Q₂ + Q₃ - Q₁₂*Q₂₃ = Q_3-2 (Q_1-3 + Q_1-2 – Q_1-3*Q_1-2).

Q₃ + Q₁ - Q₁₃*Q₂₁ = Q_3-1 (Q_2-1 + Q_2-3 – Q_2-1*Q_2-3).

Если пренебречь произведениями вида Q₁*Q₂ и Q_1-2 *Q_3-2*Q_3-1, то в результате решения системы уравнений можно записать:

Q₁ = Q_1-2 *Q_3-1;

Q₂ = Q_2-3 *Q_1-2;

Q₃ = Q_3-1 *Q_2-3.

Для преобразования звезды в треугольник

Q_1-2 = _;

Q_2-3 = _;

Q_3-1 = _.

Следует отметить, что полученные выражения приближенные из-за неучета указанных произведений. Поэтому при некоторых сочетаниях исходных данных возможны значительные погрешности, например, вероятности могут оказаться больше 1, что противоречит здравому смыслу. В такой ситуации возможны два выхода – попытаться иначе преобразовать систему или использовать точные уравнения.