Минимальный/максимальный и наименьший/наибольший элементы

Из-за того, что в частично упорядоченном множестве могут быть пары несравнимых элементов, вводятся два различных определения: минимального элемента и наименьшего элемента.

Элемент называется минимальным, если не существует элемента b < a. Другими словами, a — минимальный элемент, если для любого элемента либо b > a, либо b = a, либо b и a несравнимы. Элемент a называется наименьшим, если для любого элемента имеет место неравенство . Очевидно, всякий наименьший элемент является также минимальным, но обратное в общем случае неверно: минимальный элемент a может и не быть наименьшим, если существуют элементы b, не сравнимые с a.

Очевидно, что если в множестве существует наименьший элемент, то он единственен. А вот минимальных элементов может быть несколько. В качестве примера рассмотрим множество натуральных чисел без единицы, упорядоченное по отношению делимости . Здесь минимальными элементами будут простые числа, а вот наименьшего элемента не существует.

Аналогично вводятся понятия максимального и наибольшего элементов.