Вполне упорядоченные множества

Линейно упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент. Соответственно, порядок на множестве называется полным порядком.

Классический пример вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел . Утверждение о том, что любое непустое подмножество содержит наименьший элемент, равносильно принципу математической индукции. В качестве примера линейно упорядоченного, но не вполне упорядоченного множества можно привести множество неотрицательных чисел, упорядоченное естественным образом . Действительно, его подмножество { x: x > 1} не имеет наименьшего элемента.

Вполне упорядоченные множества играют исключительно важную роль в общей теории множеств.