Задание 2. Дана функция распределения F(x) случайной величины Х, содержащая параметр А

1)

Дана функция распределения F (x) случайной величины Х, содержащая параметр А. Найти этот параметр. После чего найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение этой величины. Вычислить следующую вероятность
Р (3< X< 10).

Решение. Для нахождения неизвестного параметра А надо использовать следующее свойство функции распределения:

F (50)=1.

Тогда 50 А =1, А =1/50.

Таким образом

Так как F `(x)= f (x), то

Для того чтобы найти вероятность попадания случайной величины в интервал (3; 10), вычислим площадь криволинейной трапеции.

Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, используя следующие формулы:

Следовательно,

2) Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения, предварительно вычислив значение параметра А. После чего найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. Вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервал

Решение. Так как все значения случайной величины Х принадлежат интервалу [0; π ], то используя свойство

получим:

Для нахождения функции распределения воспользуемся формулой

.

При

При

При

Таким образом

Найдем математическое ожидание, используя формулу

Найдем дисперсию, используя формулу

Найдем среднее квадратическое отклонение

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал :

Р ()=

Задание 3. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией 4. Найти выражение для плотности вероятности этой случайной величины. Найти плотность распределения случайной величины Y=3Х-2.

Решение. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид:

Из условия задачи а =3, .

Следовательно,

Относительно случайной величины Y надо учесть, что при линейном преобразовании нормально распределенной случайной величины получается также нормально распределенная случайная величина. При этом надо учесть свойства математического ожидания и дисперсии:

М (с Х+ в)= сМ (Х)+ в,

D (с Х+ в)= с ² D (X).

Таким образом, для случайной величины Y имеем:

а =3∙ 3-2=7,

Следовательно,

Задание 4. Дан закон распределения двумерной случайной величины

Решение.

Заметим, что сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице.

Найдем законы распределения составляющих.

Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений Х:

Р(х₁)=0, 16, Р(х₂)=0, 48, Р(х₃)=0, 36.

Напишем закон распределения составляющей Х

Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений Y:

Р(у₁)=0, 6, Р(у₂)=0, 4.

Напишем закон распределения составляющей Y

Найдем условный закон распределения составляющей Х при условии, что составляющая Y приняла значение у₁.

Искомый закон определяется совокупностью следующих условных вероятностей:

р(х₁│ у₁), р(х₂│ у₁), р(х₃│ у₁).

Тогда, используя формулу

р(х_i│ у_j)=p(x_i, y_j)/p(y_j),

получим

р(х₁│ у₁)=p(x₁, y₁)/p(y₁)=0, 1/0, 6=1/6;

р(х₂│ у₁)=p(x₂, y₁)/p(y₁)=0, 3/0, 6=1/2;

р(х₃│ у₁)=p(x₃, y₁)/p(y₁)=0, 2/0, 6=1/3.

Сложив для контроля найденные условные вероятности, убедимся, что их сумма равна единице.

Аналогично определяется условный закон распределения составляющей Y при условии, что составляющая Х приняла значение х_i.

Найдем математические ожидания и дисперсии составляющих.

М(Х)=х₁∙ 0, 16+х₂∙ 0, 48+х₃∙ 0, 36;

М(Y)=у₁∙ 0, 6+у₂∙ 0, 4;

D(X)=M(X²)–M²(X)=х₁²∙ 0, 16+х₂²∙ 0, 48+х₃²∙ 0, 36–(х₁∙ 0, 16+х₂∙ 0, 48+ +х₃∙ 0, 36)²;

D(Y)=M(Y²)–M²(Y)= y₁²∙ 0, 6+ y₂²∙ 0, 4–(y₁∙ 0, 6+y₂∙ 0, 4)².

Коэффициентом корреляции r_xy случайных величин Х и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используем формулу:

Регрессия Y на Х:

.

Регрессия Х на Y:

Задание 5.

Дана выборка

1) Построить вариационный ряд.

Т.к. вариационный ряд – это последовательность значений , записанных в возрастающем порядке, то в данной задаче вариационный ряд:

15 15 15 30 30 30 30 45 45 45

2) Статистические распределения частот и относительных частот.

варианта
частоты
относительные частоты	0, 3	0, 4	0, 3

Где - объём выборки, а относительные частоты ищутся по формулам .

3) Построить полигон относительных частот.

	0, 3	0, 4	0, 3

4) Построить график эмпирической функции распределения.

Эмпирическая функция распределения , определяющая для каждого значения x относительную частоту события ,

,

где - число вариант, меньших x,

- число выборки, =10.

Наименьшая варианта равна 15, то при .

Значения , а именно , наблюдалось 3 раза, значит при .

Значения , а именно и , наблюдались 3+4=7 раз, т.об.

, при .

Т.к. - большая варианта, то при .

Напишем искомую эмпирическую функцию распределения:

Построим график этой функции

	0, 7
	0, 3