Последовательные игры

До сих пор мы предполагали, что участники игры делают свои ходы одновременно, т.е. одновременно выбирают свои стратегии. Однако, во многих случаях, дело обстоит так, что игроки делают ходы поочерёдно. Такие игры называются последовательными играми. Для их описания больше всего подходит развёрнутая форма игры, т.е. ее представление в виде де­рева игры.

Рассмотрим в качестве примера последовательную игру двух участников. Пусть первый ход принадлежит первому игроку, который имеет две стратегии; второй участник ходит вторым и имеет три стратегии. Дерево этой игры изображено на рис. 1:

Рисунок 1

В данной игре первый игрок может оптимизировать свой выигрыш, проводя следующие вычисления. Сравниваются три исхода (1, 1), (1, 2) и (1, 3). Пусть наибольшее значение выигрыша второго игрока достигается при исходе (1, 2). Аналогично сравниваются три исхода (2, 1), (2, 2) и (2, 3). Пусть наибольшее значение выигрыша второго игрока достигается при исходе (2, 3). Тогда второй игрок, действуя рационально, в ответ на первую стратегию первого игрока выберет стратегию, при которой реализуется исход (1, 2) а в ответ на вторую стратегию первого игрока выберет стратегию, при которой реализуется исход (2, 3). Таким образом, первый игрок приходит к выводу, что если он выберет первую стратеги, то его выигрыш составит , а если он выберет вторую стратегию, то выигрыш будет ра­вен . Если , то первому игроку выгоднее придерживаться первой стратегии, а если , то первому игроку выгоднее придерживаться второй стратегии.

Данный тип оптимальности называется оптимальностью по Штакельбергу.

Исход игры называется равновесием по Штакельбергу, а страте­гии и первого и второго игроков соответственно называются оптимальными по Штакельбергу, если , где определяется из уравнения

Пояснение. Уравнение означает, что стратегия является лучшим отве­том второго участника на стратегию первого участника, т.е.

.

Уравнение означает, что первый участник выбирает стратегию таким обра­зом, что в случае рационального выбора второго участника, первый участник получит свой наибольший выигрыш. Здесь мы предполагаем, что право первого хода принадлежит первому участнику. Аналогично можно сформулировать определение оптимальной стра­тегии по Штакельбергу в случае, если первый ход принадлежит второму участнику. В некоторых играх право первого хода даёт преимущество тому участнику, который им обладает.

Пример. «Игра на опережение».

Ситуация дуополии на рынке фирм-производителей сухих завтраков. Обе фирмы выпускают одинаковую продукцию: сырки и хлопья. Первая фирма доминирует на рынке и первой приступает к выпуску продукта. Прибыли обеих фирм приведены в таб­лице 13:

Таблица 13

Найти равновесие по Штакельбергу.

Решение. В игре существует два равновесия по Нэшу . Если бы фирмы выбирали продукты одновременно, то равновесием в игре было бы равновесие по Нэшу. Вспомним, что первая фирма обладает правом первого хода и запишем развёрнутую форму игры (рис. 2)

Рисунок 2

Двигаясь по дереву игры от конца к началу, мы приходим к выводу, что оптимальной стратегией по Штакельбергу для первой фирмы будет выбор сырков, а для второй - хлопьев. Таким образом, равновесие по Штакельбергу достигается в исходе .

Легко проверить, что равновесие по Нэшу всегда является равновесием по Штакельбергу (иллюстрацией служит пример «Игра на опережение»), но обратное не всегда верно.

Также преимущества первого хода проявляется в конкуренции по Курно[6] между двумя фирмами. Дуополия по Курно представляет собой модель, в которой два конкурирующих производителя однородной продукции выбирают свой выпуск, исходя из заданной функции совокупного спроса и из предположения, что конкурент максимизирует свою прибыль, принимая выпуск другой фирмы является постоянным. Таким образом, фирмы начинают с монопольной цены, а затем последовательно снижают цены до равновесного значения. Рассмотрим пример.

Пример. «Дуополия Курно»

Рынок поделён между двумя фирмами, каждая из которых выбирает свой объём выпуска: – выпуск первой фирмы; – выпуск второй фирмы. Совокупный вы­пуск (предложение) будет равен

(2.18)

Уравнение кривой спроса на данном рынке задано и имеет вид:

(2.19)

Требуется определить равновесную цену, если право первого хода принадлежит первой выпуск.

Решение. По формуле найдём выручку первой фирмы

(2.20)

Аналогично, выручка второй фирмы будет равна:

(2.21)

По формуле вычисления прибыли находим прибыль каждой из фирм:

,

.

Предположим сначала, что каждая фирма является монополистом, следовательно, может выбирать выпуск, максимизирующий ее прибыль при постоянном выпуске конкурента. Оптимум (максимум прибыли) достигается в точке, где предельная выручка равна предельным издержкам , т.е.:

Для упрощения будем считать, что

тогда первая фирма выбирает выпуск при котором . Вторая фирма выбирает выпуск , при котором .

Предельная выручка фирм определяется как частная производная от выручки по объёму выпуска. Таким образом:

Найдём значение оптимальные значения и

(2.22)

Система (2.22) получается в предположении, что каждая фирма максимизирует свою выручку и предполагает, что её конкурент сделает то же самое.

Находим значение и выручки обеих фирм:

Если бы фирмы могли договориться между собой, то они бы выбрали такой выпуск , который максимизировал бы их общую выручку

.

При этом а выпуск каждой из фирм, при справедливом дележе, был бы равен . Однако реализации этого исхода препятствует очередность ходов, которая дает преимущества фирме, обладающей правом первого хода.

Для простоты, будем считать, что каждая фирма выбирает один из трёх объёмов выпуска: 7, 5; 10 и 15. В таблице 14 приведены выручки каждой из фирм для всех всевозможных исходов:

Таблица 14

Равновесным по Нэшу является исход с результатами (). Теперь предположим, что первая фирма обладает правом первого хода, т.е. она выбирает объём выпуска и сообщает об этом второй фирме, которая, в свою очередь, выбирает объем выпуска, максимизирующий прибыль при заданном объеме выпуска конкурента. Таким образом, получаем следующие исходы:

§ первая фирма – 7, 5; тогда вторая фирма – 10, результат (93, 75; 125);

§ первая фирма – 10; тогда вторая фирма – 10, результат (100; 100);

§ первая фирма – 15; тогда вторая фирма – 7, 5, результат (112, 5; 56, 25).

Сравнивая полученные исходы по прибыли первой фирмы, находим равновесие по Штакельбергу, находящееся в исходе с результатами , выпуски фирм при этом . Первая фирма выигрывает за счёт права первого хода, вторая фирма при этом теряет часть прибыли по сравнению с равновесием по Нэшу..

В реальности первая фирма, выбрав объём производства должна убедить вторую фирму в том, что она не намерена отступать от этой стратегии. Для этого она может проводить рекламную компанию, вкладывать деньги и т.д. такие действия называются стратегическим ходом.

Стратегическим называется ход, который влияет на выбор другого игрока в благоприятном направлении для игрока, делающего стратегический ход.

Влияние заключается в том, что стратегический ход воздействует на ожидание второго игрока относительно поведения первого. Таким образом, стратегический ход ограничивает выбор партнёра, предварительно ограничив собственное поведение. Делая стратегический ход, участник игры связывает себя обещаниями, вкладывает средства в действия, которые вынуждают партнёра выбирать благоприятные для первого участника стратегии. Но может оказаться, что второй участник не поверит стратегическому ходу первого игрока и сочтёт его действия пустой угрозой.

Пример. «Пустые угрозы при наличии доминирующих стратегий»

На рынке действуют две фирмы. Первая фирма производит многофункциональные мобильные телефоны, а вторая – простые. Если вторая фирма назначит низкую цену, то часть покупателей первой фирмы перейдёт на потребление продукции второй фирмы. Если же первая назначит низкую цену, то у второй фирмы останется лишь один выход – назначить более низкую, чем у первой фирмы цену. Прибыли фирм в зависимости от выбранных стратегий приведены в таблице 15.

Таблица 15

Имеет ли первая фирма возможность добиться выигрыш 100 с помощью стратегического хода?

Решение.

Для решения следует ответить на следующие вопросы:

1. Имеет ли вторая фирма доминирующие стратегии?

Вторая фирма имеет одну доминирующую стратегию – низкая цена.

2. Что является следствием из этого?

Какие бы действия не предпринимала первая фирма, вторая фирма будет назначать низкую цену.

3. Какая из фирм доминирует на рынке?

Доминирующей на рынке является первая фирма, т.к. её продукция является более разнообразной.

4. Как будут восприняты второй фирмой действия первой, которые она может предпринять для того, чтобы убедить вторую фирму назначить высокие цену?

Как пустые угрозы.

5. Почему второй фирме не стоит воспринимать угрозы первой всерьёз?

Что бы ни делала первая фирма, вторая фирма знает, что первой фирме, при снижении цены на свою продукцию, будет только хуже.

6. Что изменится, если вторая фирма знает, что у первой фирмы репутация рискованного иррационального игрока?

В этом случае вторая фирма может поверить угрозам первой фирмы.

В данном случае реализации наиболее выгодного для первой фирмы равновесия по Штакельбергу мешает наличие доминирующих стратегий у второй фирмы.

Пустые угрозы могут быть также следствием равновесия по подыграм (Sub games Equilibrium), что демонстрирует пример «Заложник – террорист»

Пример: Пустые угрозы в игре “заложник-террорист”. Информированные агенты.

Террорист захватил заложника и требует от него выкуп, условный размер которого возьмем за 1. Террорист угрожает взорвать заложника вместе с собой, если выкуп не будет выплачен. Оба участника знают потери друг друга при неблагоприятном исходе игры, т.е. при взрыве. Какое решение должен принять заложник?

Решение. Изобразим дерево решений (рис. 3), и разобьем игру на подыгры.

Рисунок 3

Subgame2 Subgame1

1 платить выкуп 3 взрывать

2 не платить выкуп 4 не взрывать

В подыгре 1 (Subgame1) террорист имеет доминирующую стратегию «не взрывать».

В подыгре 2 (Subgame2) заложник имеет доминирующую стратегию «не платить».